Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49736 / 54217
↖ ↑ ↗
← N 29.666576°
W 43.395996°		 ← 265.34 m → N 29.666576°
W 43.393250°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
N 29.664190°
W 43.395996°		 ← 265.34 m →
70 408 m²		 N 29.664190°
W 43.393250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379459381103516 y=0.413646697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379459381103516 × 217)
    floor (0.379459381103516 × 131072)
    floor (49736.5)     		tx = 49736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413646697998047 × 217)
    floor (0.413646697998047 × 131072)
    floor (54217.5)     		ty = 54217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49736 / 54217 ti = "17/49736/54217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49736/54217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49736 ÷ 217
    49736 ÷ 131072     		x = 0.37945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54217 ÷ 217
    54217 ÷ 131072     		y = 0.413642883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413642883300781 × 2 - 1) × π
    0.172714233398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.542597766799416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75740301} λ = -0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542597766799416))-π/2
    2×atan(1.72047044299987)-π/2
    2×1.04428787782756-π/2
    2.08857575565511-1.57079632675     		φ = 0.51777943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51777943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.666576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49736 KachelY 54217 -0.75740301 0.51777943 -43.395996 29.666576
    Oben rechts KachelX + 1 49737 KachelY 54217 -0.75735508 0.51777943 -43.393250 29.666576
    Unten links KachelX 49736 KachelY + 1 54218 -0.75740301 0.51773778 -43.395996 29.664190
    Unten rechts KachelX + 1 49737 KachelY + 1 54218 -0.75735508 0.51773778 -43.393250 29.664190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51777943-0.51773778) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51777943-0.51773778) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(0.51777943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.868920396321156 × 6371000     		do = 265.335296129195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(0.51773778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.868941010312499 × 6371000     		du = 265.341590859438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51777943)-sin(0.51773778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868920396321156-0.868941010312499)×R²
    abs(-0.75735508--0.75740301)×2.06139913431214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06139913431214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06139913431214e-05×40589641000000     		ar = 70408.1264690259m²