Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49736 / 52808
↖ ↑ ↗
← N 32.971804°
W 43.395996°		 ← 256.18 m → N 32.971804°
W 43.393250°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
N 32.969500°
W 43.395996°		 ← 256.19 m →
65 645 m²		 N 32.969500°
W 43.393250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379459381103516 y=0.402896881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379459381103516 × 217)
    floor (0.379459381103516 × 131072)
    floor (49736.5)     		tx = 49736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402896881103516 × 217)
    floor (0.402896881103516 × 131072)
    floor (52808.5)     		ty = 52808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49736 / 52808 ti = "17/49736/52808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49736/52808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49736 ÷ 217
    49736 ÷ 131072     		x = 0.37945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52808 ÷ 217
    52808 ÷ 131072     		y = 0.40289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    0.1942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.610140858364075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75740301} λ = -0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610140858364075))-π/2
    2×atan(1.84069065719659)-π/2
    2×1.0731314314996-π/2
    2.14626286299921-1.57079632675     		φ = 0.57546654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57546654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.971804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49736 KachelY 52808 -0.75740301 0.57546654 -43.395996 32.971804
    Oben rechts KachelX + 1 49737 KachelY 52808 -0.75735508 0.57546654 -43.393250 32.971804
    Unten links KachelX 49736 KachelY + 1 52809 -0.75740301 0.57542632 -43.395996 32.969500
    Unten rechts KachelX + 1 49737 KachelY + 1 52809 -0.75735508 0.57542632 -43.393250 32.969500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57546654-0.57542632) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dl = 256.241619999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57546654-0.57542632) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dr = 256.241619999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(0.57546654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.838938490417496 × 6371000     		do = 256.179960479179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75740301--0.75735508) × cos(0.57542632) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.838960378518641 × 6371000     		du = 256.186644274178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57546654)-sin(0.57542632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838938490417496-0.838960378518641)×R²
    abs(-0.75735508--0.75740301)×2.18881011453398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18881011453398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18881011453398e-05×40589641000000     		ar = 65644.8244266227m²