Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49735 / 84303
↖ ↑ ↗
← S 45.734943°
W 43.398743°		 ← 213.18 m → S 45.734943°
W 43.395996°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
S 45.736860°
W 43.398743°		 ← 213.17 m →
45 444 m²		 S 45.736860°
W 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379451751708984 y=0.643184661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379451751708984 × 217)
    floor (0.379451751708984 × 131072)
    floor (49735.5)     		tx = 49735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643184661865234 × 217)
    floor (0.643184661865234 × 131072)
    floor (84303.5)     		ty = 84303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49735 / 84303 ti = "17/49735/84303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49735/84303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49735 ÷ 217
    49735 ÷ 131072     		x = 0.379447937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84303 ÷ 217
    84303 ÷ 131072     		y = 0.643180847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379447937011719 × 2 - 1) × π
    -0.241104125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75745095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643180847167969 × 2 - 1) × π
    -0.286361694335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.899631795169594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75745095} λ = -0.75745095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899631795169594))-π/2
    2×atan(0.406719388216895)-π/2
    2×0.386285498274453-π/2
    0.772570996548906-1.57079632675     		φ = -0.79822533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75745095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.398743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79822533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.734943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49735 KachelY 84303 -0.75745095 -0.79822533 -43.398743 -45.734943
    Oben rechts KachelX + 1 49736 KachelY 84303 -0.75740301 -0.79822533 -43.395996 -45.734943
    Unten links KachelX 49735 KachelY + 1 84304 -0.75745095 -0.79825879 -43.398743 -45.736860
    Unten rechts KachelX + 1 49736 KachelY + 1 84304 -0.75740301 -0.79825879 -43.395996 -45.736860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79822533--0.79825879) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dl = 213.173660000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79822533--0.79825879) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dr = 213.173660000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75745095--0.75740301) × cos(-0.79822533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697978681890314 × 6371000     		do = 213.180655420434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75745095--0.75740301) × cos(-0.79825879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697954720173338 × 6371000     		du = 213.173336895295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79822533)-sin(-0.79825879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697978681890314-0.697954720173338)×R²
    abs(-0.75740301--0.75745095)×2.39617169759399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39617169759399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39617169759399e-05×40589641000000     		ar = 45443.7205031311m²