Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49734 / 54216
↖ ↑ ↗
← N 29.668962°
W 43.401489°		 ← 265.38 m → N 29.668962°
W 43.398743°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
N 29.666576°
W 43.401489°		 ← 265.39 m →
70 421 m²		 N 29.666576°
W 43.398743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379444122314453 y=0.413639068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379444122314453 × 217)
    floor (0.379444122314453 × 131072)
    floor (49734.5)     		tx = 49734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413639068603516 × 217)
    floor (0.413639068603516 × 131072)
    floor (54216.5)     		ty = 54216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49734 / 54216 ti = "17/49734/54216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49734/54216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49734 ÷ 217
    49734 ÷ 131072     		x = 0.379440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54216 ÷ 217
    54216 ÷ 131072     		y = 0.41363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379440307617188 × 2 - 1) × π
    -0.241119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75749889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41363525390625 × 2 - 1) × π
    0.1727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.542645703699036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75749889} λ = -0.75749889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542645703699036))-π/2
    2×atan(1.7205529189956)-π/2
    2×1.0443087042554-π/2
    2.0886174085108-1.57079632675     		φ = 0.51782108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75749889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.401489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51782108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.668962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49734 KachelY 54216 -0.75749889 0.51782108 -43.401489 29.668962
    Oben rechts KachelX + 1 49735 KachelY 54216 -0.75745095 0.51782108 -43.398743 29.668962
    Unten links KachelX 49734 KachelY + 1 54217 -0.75749889 0.51777943 -43.401489 29.666576
    Unten rechts KachelX + 1 49735 KachelY + 1 54217 -0.75745095 0.51777943 -43.398743 29.666576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51782108-0.51777943) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51782108-0.51777943) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75749889--0.75745095) × cos(0.51782108) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.868899780822477 × 6371000     		do = 265.384358543983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75749889--0.75745095) × cos(0.51777943) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.868920396321156 × 6371000     		du = 265.390655047923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51782108)-sin(0.51777943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868899780822477-0.868920396321156)×R²
    abs(-0.75745095--0.75749889)×2.06154986789331e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.06154986789331e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.06154986789331e-05×40589641000000     		ar = 70421.1455215985m²