Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49732 / 58428
↖ ↑ ↗
← N 19.155547°
W 43.406982°		 ← 288.51 m → N 19.155547°
W 43.404236°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.152952°
W 43.406982°		 ← 288.52 m →
83 249 m²		 N 19.152952°
W 43.404236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379428863525391 y=0.445774078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379428863525391 × 217)
    floor (0.379428863525391 × 131072)
    floor (49732.5)     		tx = 49732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445774078369141 × 217)
    floor (0.445774078369141 × 131072)
    floor (58428.5)     		ty = 58428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49732 / 58428 ti = "17/49732/58428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49732/58428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49732 ÷ 217
    49732 ÷ 131072     		x = 0.379425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58428 ÷ 217
    58428 ÷ 131072     		y = 0.445770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    0.10845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.340735482499359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75759476} λ = -0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340735482499359))-π/2
    2×atan(1.40598128501446)-π/2
    2×0.952561842063368-π/2
    1.90512368412674-1.57079632675     		φ = 0.33432736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33432736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.155547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49732 KachelY 58428 -0.75759476 0.33432736 -43.406982 19.155547
    Oben rechts KachelX + 1 49733 KachelY 58428 -0.75754682 0.33432736 -43.404236 19.155547
    Unten links KachelX 49732 KachelY + 1 58429 -0.75759476 0.33428207 -43.406982 19.152952
    Unten rechts KachelX + 1 49733 KachelY + 1 58429 -0.75754682 0.33428207 -43.404236 19.152952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33432736-0.33428207) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33432736-0.33428207) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75759476--0.75754682) × cos(0.33432736) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944631239263741 × 6371000     		do = 288.514695279724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75759476--0.75754682) × cos(0.33428207) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944646099476878 × 6371000     		du = 288.519233971318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33432736)-sin(0.33428207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944631239263741-0.944646099476878)×R²
    abs(-0.75754682--0.75759476)×1.48602131372355e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.48602131372355e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.48602131372355e-05×40589641000000     		ar = 83249.4322461867m²