Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49731 / 58307
↖ ↑ ↗
← N 19.469182°
W 43.409729°		 ← 287.96 m → N 19.469182°
W 43.406982°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.466592°
W 43.409729°		 ← 287.97 m →
82 906 m²		 N 19.466592°
W 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379421234130859 y=0.444850921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379421234130859 × 217)
    floor (0.379421234130859 × 131072)
    floor (49731.5)     		tx = 49731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444850921630859 × 217)
    floor (0.444850921630859 × 131072)
    floor (58307.5)     		ty = 58307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49731 / 58307 ti = "17/49731/58307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49731/58307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49731 ÷ 217
    49731 ÷ 131072     		x = 0.379417419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58307 ÷ 217
    58307 ÷ 131072     		y = 0.444847106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379417419433594 × 2 - 1) × π
    -0.241165161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75764270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444847106933594 × 2 - 1) × π
    0.110305786132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.346535847353386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75764270} λ = -0.75764270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346535847353386))-π/2
    2×atan(1.41416018682171)-π/2
    2×0.95529882582637-π/2
    1.91059765165274-1.57079632675     		φ = 0.33980132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75764270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.409729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33980132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.469182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49731 KachelY 58307 -0.75764270 0.33980132 -43.409729 19.469182
    Oben rechts KachelX + 1 49732 KachelY 58307 -0.75759476 0.33980132 -43.406982 19.469182
    Unten links KachelX 49731 KachelY + 1 58308 -0.75764270 0.33975613 -43.409729 19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 49732 KachelY + 1 58308 -0.75759476 0.33975613 -43.406982 19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33980132-0.33975613) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33980132-0.33975613) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75764270--0.75759476) × cos(0.33980132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94282090413635 × 6371000     		do = 287.961772333125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75764270--0.75759476) × cos(0.33975613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 287.966372305702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33980132)-sin(0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94282090413635-0.942835964990676)×R²
    abs(-0.75759476--0.75764270)×1.50608543263431e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50608543263431e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50608543263431e-05×40589641000000     		ar = 82906.4373576433m²