Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49730 / 84307
↖ ↑ ↗
← S 45.742610°
W 43.412476°		 ← 213.15 m → S 45.742610°
W 43.409729°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 45.744527°
W 43.412476°		 ← 213.14 m →
45 424 m²		 S 45.744527°
W 43.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379413604736328 y=0.643215179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379413604736328 × 217)
    floor (0.379413604736328 × 131072)
    floor (49730.5)     		tx = 49730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643215179443359 × 217)
    floor (0.643215179443359 × 131072)
    floor (84307.5)     		ty = 84307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49730 / 84307 ti = "17/49730/84307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49730/84307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49730 ÷ 217
    49730 ÷ 131072     		x = 0.379409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84307 ÷ 217
    84307 ÷ 131072     		y = 0.643211364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.241180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75769064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643211364746094 × 2 - 1) × π
    -0.286422729492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.899823542768074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75769064} λ = -0.75769064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899823542768074))-π/2
    2×atan(0.406641408227426)-π/2
    2×0.386218585000818-π/2
    0.772437170001636-1.57079632675     		φ = -0.79835916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75769064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79835916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.742610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49730 KachelY 84307 -0.75769064 -0.79835916 -43.412476 -45.742610
    Oben rechts KachelX + 1 49731 KachelY 84307 -0.75764270 -0.79835916 -43.409729 -45.742610
    Unten links KachelX 49730 KachelY + 1 84308 -0.75769064 -0.79839261 -43.412476 -45.744527
    Unten rechts KachelX + 1 49731 KachelY + 1 84308 -0.75764270 -0.79839261 -43.409729 -45.744527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79835916--0.79839261) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79835916--0.79839261) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(-0.79835916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697882837496176 × 6371000     		do = 213.151382075429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(-0.79839261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697858879816306 × 6371000     		du = 213.144064783326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79835916)-sin(-0.79839261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697882837496176-0.697858879816306)×R²
    abs(-0.75764270--0.75769064)×2.3957679869735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3957679869735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3957679869735e-05×40589641000000     		ar = 45423.9006869914m²