Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49730 / 52803
↖ ↑ ↗
← N 32.983324°
W 43.412476°		 ← 256.20 m → N 32.983324°
W 43.409729°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
N 32.981020°
W 43.412476°		 ← 256.21 m →
65 634 m²		 N 32.981020°
W 43.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379413604736328 y=0.402858734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379413604736328 × 217)
    floor (0.379413604736328 × 131072)
    floor (49730.5)     		tx = 49730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402858734130859 × 217)
    floor (0.402858734130859 × 131072)
    floor (52803.5)     		ty = 52803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49730 / 52803 ti = "17/49730/52803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49730/52803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49730 ÷ 217
    49730 ÷ 131072     		x = 0.379409790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52803 ÷ 217
    52803 ÷ 131072     		y = 0.402854919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.241180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75769064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402854919433594 × 2 - 1) × π
    0.194290161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.610380542862175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75769064} λ = -0.75769064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610380542862175))-π/2
    2×atan(1.84113189508975)-π/2
    2×1.0732319652176-π/2
    2.14646393043519-1.57079632675     		φ = 0.57566760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75769064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57566760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.983324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49730 KachelY 52803 -0.75769064 0.57566760 -43.412476 32.983324
    Oben rechts KachelX + 1 49731 KachelY 52803 -0.75764270 0.57566760 -43.409729 32.983324
    Unten links KachelX 49730 KachelY + 1 52804 -0.75769064 0.57562739 -43.412476 32.981020
    Unten rechts KachelX + 1 49731 KachelY + 1 52804 -0.75764270 0.57562739 -43.409729 32.981020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57566760-0.57562739) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57566760-0.57562739) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(0.57566760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838829051331662 × 6371000     		do = 256.199983736303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75769064--0.75764270) × cos(0.57562739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838850940773029 × 6371000     		du = 256.206669335131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57566760)-sin(0.57562739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838829051331662-0.838850940773029)×R²
    abs(-0.75764270--0.75769064)×2.18894413674953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18894413674953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18894413674953e-05×40589641000000     		ar = 65633.6327358431m²