Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49729 / 84305
↖ ↑ ↗
← S 45.738777°
W 43.415222°		 ← 213.12 m → S 45.738777°
W 43.412476°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 45.740693°
W 43.415222°		 ← 213.11 m →
45 418 m²		 S 45.740693°
W 43.412476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379405975341797 y=0.643199920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379405975341797 × 217)
    floor (0.379405975341797 × 131072)
    floor (49729.5)     		tx = 49729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643199920654297 × 217)
    floor (0.643199920654297 × 131072)
    floor (84305.5)     		ty = 84305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49729 / 84305 ti = "17/49729/84305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49729/84305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49729 ÷ 217
    49729 ÷ 131072     		x = 0.379402160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84305 ÷ 217
    84305 ÷ 131072     		y = 0.643196105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379402160644531 × 2 - 1) × π
    -0.241195678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75773857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643196105957031 × 2 - 1) × π
    -0.286392211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.899727668968834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75773857} λ = -0.75773857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899727668968834))-π/2
    2×atan(0.406680396353101)-π/2
    2×0.386252040489044-π/2
    0.772504080978089-1.57079632675     		φ = -0.79829225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75773857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.415222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79829225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.738777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49729 KachelY 84305 -0.75773857 -0.79829225 -43.415222 -45.738777
    Oben rechts KachelX + 1 49730 KachelY 84305 -0.75769064 -0.79829225 -43.412476 -45.738777
    Unten links KachelX 49729 KachelY + 1 84306 -0.75773857 -0.79832570 -43.415222 -45.740693
    Unten rechts KachelX + 1 49730 KachelY + 1 84306 -0.75769064 -0.79832570 -43.412476 -45.740693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79829225--0.79832570) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79829225--0.79832570) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75773857--0.75769064) × cos(-0.79829225) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697930757674952 × 6371000     		do = 213.121552963192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75773857--0.75769064) × cos(-0.79832570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697906801557068 × 6371000     		du = 213.114237674404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79829225)-sin(-0.79832570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697930757674952-0.697906801557068)×R²
    abs(-0.75769064--0.75773857)×2.395611788375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.395611788375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.395611788375e-05×40589641000000     		ar = 45417.5440196142m²