Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49729 / 58303
↖ ↑ ↗
← N 19.479539°
W 43.415222°		 ← 287.88 m → N 19.479539°
W 43.412476°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.476950°
W 43.415222°		 ← 287.89 m →
82 884 m²		 N 19.476950°
W 43.412476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379405975341797 y=0.444820404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379405975341797 × 217)
    floor (0.379405975341797 × 131072)
    floor (49729.5)     		tx = 49729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444820404052734 × 217)
    floor (0.444820404052734 × 131072)
    floor (58303.5)     		ty = 58303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49729 / 58303 ti = "17/49729/58303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49729/58303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49729 ÷ 217
    49729 ÷ 131072     		x = 0.379402160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58303 ÷ 217
    58303 ÷ 131072     		y = 0.444816589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379402160644531 × 2 - 1) × π
    -0.241195678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75773857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444816589355469 × 2 - 1) × π
    0.110366821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.346727594951866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75773857} λ = -0.75773857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346727594951866))-π/2
    2×atan(1.41443137464038)-π/2
    2×0.955389214759422-π/2
    1.91077842951884-1.57079632675     		φ = 0.33998210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75773857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.415222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33998210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.479539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49729 KachelY 58303 -0.75773857 0.33998210 -43.415222 19.479539
    Oben rechts KachelX + 1 49730 KachelY 58303 -0.75769064 0.33998210 -43.412476 19.479539
    Unten links KachelX 49729 KachelY + 1 58304 -0.75773857 0.33993691 -43.415222 19.476950
    Unten rechts KachelX + 1 49730 KachelY + 1 58304 -0.75769064 0.33993691 -43.412476 19.476950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33998210-0.33993691) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33998210-0.33993691) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75773857--0.75769064) × cos(0.33998210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942760634796261 × 6371000     		do = 287.883301245651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75773857--0.75769064) × cos(0.33993691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94277570335273 × 6371000     		du = 287.887902610644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33998210)-sin(0.33993691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942760634796261-0.94277570335273)×R²
    abs(-0.75769064--0.75773857)×1.50685564682673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50685564682673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50685564682673e-05×40589641000000     		ar = 82883.8453012939m²