Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49728 / 16963
↖ ↑ ↗
← N 65.212986°
E 93.164063°		 ← 256.07 m → N 65.212986°
E 93.169556°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
N 65.210683°
E 93.164063°		 ← 256.09 m →
65 586 m²		 N 65.210683°
E 93.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758796691894531 y=0.258842468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758796691894531 × 216)
    floor (0.758796691894531 × 65536)
    floor (49728.5)     		tx = 49728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258842468261719 × 216)
    floor (0.258842468261719 × 65536)
    floor (16963.5)     		ty = 16963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49728 / 16963 ti = "16/49728/16963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49728/16963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49728 ÷ 216
    49728 ÷ 65536     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16963 ÷ 216
    16963 ÷ 65536     		y = 0.258834838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258834838867188 × 2 - 1) × π
    0.482330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51528539698998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51528539698998))-π/2
    2×atan(4.55071970323746)-π/2
    2×1.35448882264584-π/2
    2.70897764529168-1.57079632675     		φ = 1.13818132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13818132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.212986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49728 KachelY 16963 1.62601964 1.13818132 93.164063 65.212986
    Oben rechts KachelX + 1 49729 KachelY 16963 1.62611551 1.13818132 93.169556 65.212986
    Unten links KachelX 49728 KachelY + 1 16964 1.62601964 1.13814112 93.164063 65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 49729 KachelY + 1 16964 1.62611551 1.13814112 93.169556 65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13818132-1.13814112) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dl = 256.114199999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13818132-1.13814112) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dr = 256.114199999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62611551) × cos(1.13818132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419246325997138 × 6371000     		do = 256.070528536479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62611551) × cos(1.13814112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 256.092819930402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13818132)-sin(1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419246325997138-0.419282822133796)×R²
    abs(1.62611551-1.62601964)×3.64961366579042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64961366579042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64961366579042e-05×40589641000000     		ar = 65586.1531394764m²