Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49726 / 16950
↖ ↑ ↗
← N 65.242908°
E 93.153076°		 ← 255.78 m → N 65.242908°
E 93.158569°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
N 65.240607°
E 93.153076°		 ← 255.80 m →
65 430 m²		 N 65.240607°
E 93.158569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758766174316406 y=0.258644104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758766174316406 × 216)
    floor (0.758766174316406 × 65536)
    floor (49726.5)     		tx = 49726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258644104003906 × 216)
    floor (0.258644104003906 × 65536)
    floor (16950.5)     		ty = 16950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49726 / 16950 ti = "16/49726/16950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49726/16950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49726 ÷ 216
    49726 ÷ 65536     		x = 0.758758544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16950 ÷ 216
    16950 ÷ 65536     		y = 0.258636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758758544921875 × 2 - 1) × π
    0.51751708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.62582789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258636474609375 × 2 - 1) × π
    0.48272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5165317563801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62582789} λ = 1.62582789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5165317563801))-π/2
    2×atan(4.55639507151099)-π/2
    2×1.35474994067239-π/2
    2.70949988134478-1.57079632675     		φ = 1.13870355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62582789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.153076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13870355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.242908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49726 KachelY 16950 1.62582789 1.13870355 93.153076 65.242908
    Oben rechts KachelX + 1 49727 KachelY 16950 1.62592376 1.13870355 93.158569 65.242908
    Unten links KachelX 49726 KachelY + 1 16951 1.62582789 1.13866340 93.153076 65.240607
    Unten rechts KachelX + 1 49727 KachelY + 1 16951 1.62592376 1.13866340 93.158569 65.240607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13870355-1.13866340) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13870355-1.13866340) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62582789-1.62592376) × cos(1.13870355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418772150581665 × 6371000     		do = 255.780907991874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62582789-1.62592376) × cos(1.13866340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418808610111512 × 6371000     		du = 255.803177026804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13870355)-sin(1.13866340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418772150581665-0.418808610111512)×R²
    abs(1.62592376-1.62582789)×3.64595298470993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64595298470993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64595298470993e-05×40589641000000     		ar = 65430.4917874546m²