Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49723 / 83265
↖ ↑ ↗
← S 43.709579°
W 43.431701°		 ← 220.73 m → S 43.709579°
W 43.428955°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
S 43.711564°
W 43.431701°		 ← 220.72 m →
48 727 m²		 S 43.711564°
W 43.428955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379360198974609 y=0.635265350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379360198974609 × 217)
    floor (0.379360198974609 × 131072)
    floor (49723.5)     		tx = 49723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635265350341797 × 217)
    floor (0.635265350341797 × 131072)
    floor (83265.5)     		ty = 83265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49723 / 83265 ti = "17/49723/83265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49723/83265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49723 ÷ 217
    49723 ÷ 131072     		x = 0.379356384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83265 ÷ 217
    83265 ÷ 131072     		y = 0.635261535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379356384277344 × 2 - 1) × π
    -0.241287231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75802619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635261535644531 × 2 - 1) × π
    -0.270523071289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.849873293363976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75802619} λ = -0.75802619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849873293363976))-π/2
    2×atan(0.427469091688067)-π/2
    2×0.403960130101717-π/2
    0.807920260203434-1.57079632675     		φ = -0.76287607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75802619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.431701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76287607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.709579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49723 KachelY 83265 -0.75802619 -0.76287607 -43.431701 -43.709579
    Oben rechts KachelX + 1 49724 KachelY 83265 -0.75797826 -0.76287607 -43.428955 -43.709579
    Unten links KachelX 49723 KachelY + 1 83266 -0.75802619 -0.76291072 -43.431701 -43.711564
    Unten rechts KachelX + 1 49724 KachelY + 1 83266 -0.75797826 -0.76291072 -43.428955 -43.711564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76287607--0.76291072) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76287607--0.76291072) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75802619--0.75797826) × cos(-0.76287607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.722851629332412 × 6371000     		do = 220.731440921888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75802619--0.75797826) × cos(-0.76291072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.722827685635105 × 6371000     		du = 220.724129425873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76287607)-sin(-0.76291072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722851629332412-0.722827685635105)×R²
    abs(-0.75797826--0.75802619)×2.39436973074048e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39436973074048e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39436973074048e-05×40589641000000     		ar = 48726.7953301937m²