Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49722 / 58302
↖ ↑ ↗
← N 19.482129°
W 43.434448°		 ← 287.94 m → N 19.482129°
W 43.431701°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.479539°
W 43.434448°		 ← 287.94 m →
82 918 m²		 N 19.479539°
W 43.431701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379352569580078 y=0.444812774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379352569580078 × 217)
    floor (0.379352569580078 × 131072)
    floor (49722.5)     		tx = 49722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444812774658203 × 217)
    floor (0.444812774658203 × 131072)
    floor (58302.5)     		ty = 58302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49722 / 58302 ti = "17/49722/58302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49722/58302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49722 ÷ 217
    49722 ÷ 131072     		x = 0.379348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58302 ÷ 217
    58302 ÷ 131072     		y = 0.444808959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.241302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75807413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444808959960938 × 2 - 1) × π
    0.110382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.346775531851486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75807413} λ = -0.75807413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346775531851486))-π/2
    2×atan(1.41449917972037)-π/2
    2×0.955411811089743-π/2
    1.91082362217949-1.57079632675     		φ = 0.34002730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75807413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34002730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.482129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49722 KachelY 58302 -0.75807413 0.34002730 -43.434448 19.482129
    Oben rechts KachelX + 1 49723 KachelY 58302 -0.75802619 0.34002730 -43.431701 19.482129
    Unten links KachelX 49722 KachelY + 1 58303 -0.75807413 0.33998210 -43.434448 19.479539
    Unten rechts KachelX + 1 49723 KachelY + 1 58303 -0.75802619 0.33998210 -43.431701 19.479539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34002730-0.33998210) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34002730-0.33998210) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75807413--0.75802619) × cos(0.34002730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942745560979419 × 6371000     		do = 287.938760593665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75807413--0.75802619) × cos(0.33998210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942760634796261 × 6371000     		du = 287.943364525329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34002730)-sin(0.33998210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942745560979419-0.942760634796261)×R²
    abs(-0.75802619--0.75807413)×1.50738168421816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50738168421816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50738168421816e-05×40589641000000     		ar = 82918.1574464192m²