Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49721 / 58046
↖ ↑ ↗
← N 20.143627°
W 43.437195°		 ← 286.74 m → N 20.143627°
W 43.434448°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 20.141049°
W 43.437195°		 ← 286.75 m →
82 209 m²		 N 20.141049°
W 43.434448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379344940185547 y=0.442859649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379344940185547 × 217)
    floor (0.379344940185547 × 131072)
    floor (49721.5)     		tx = 49721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442859649658203 × 217)
    floor (0.442859649658203 × 131072)
    floor (58046.5)     		ty = 58046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49721 / 58046 ti = "17/49721/58046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49721/58046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49721 ÷ 217
    49721 ÷ 131072     		x = 0.379341125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58046 ÷ 217
    58046 ÷ 131072     		y = 0.442855834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.241317749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75812207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    0.114288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359047378154221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75812207} λ = -0.75812207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359047378154221))-π/2
    2×atan(1.43196464380626)-π/2
    2×0.961184475479056-π/2
    1.92236895095811-1.57079632675     		φ = 0.35157262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75812207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.437195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35157262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.143627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49721 KachelY 58046 -0.75812207 0.35157262 -43.437195 20.143627
    Oben rechts KachelX + 1 49722 KachelY 58046 -0.75807413 0.35157262 -43.434448 20.143627
    Unten links KachelX 49721 KachelY + 1 58047 -0.75812207 0.35152762 -43.437195 20.141049
    Unten rechts KachelX + 1 49722 KachelY + 1 58047 -0.75807413 0.35152762 -43.434448 20.141049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35157262-0.35152762) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35157262-0.35152762) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75812207--0.75807413) × cos(0.35157262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93883230352279 × 6371000     		do = 286.743551039165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75812207--0.75807413) × cos(0.35152762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938847799431879 × 6371000     		du = 286.748283888665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35157262)-sin(0.35152762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93883230352279-0.938847799431879)×R²
    abs(-0.75807413--0.75812207)×1.54959090885587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54959090885587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54959090885587e-05×40589641000000     		ar = 82208.6208212635m²