Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49716 / 58324
↖ ↑ ↗
← N 19.425154°
W 43.450928°		 ← 287.98 m → N 19.425154°
W 43.448181°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.422563°
W 43.450928°		 ← 287.98 m →
82 948 m²		 N 19.422563°
W 43.448181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379306793212891 y=0.444980621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379306793212891 × 217)
    floor (0.379306793212891 × 131072)
    floor (49716.5)     		tx = 49716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444980621337891 × 217)
    floor (0.444980621337891 × 131072)
    floor (58324.5)     		ty = 58324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49716 / 58324 ti = "17/49716/58324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49716/58324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49716 ÷ 217
    49716 ÷ 131072     		x = 0.379302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58324 ÷ 217
    58324 ÷ 131072     		y = 0.444976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.24139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75836175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    0.11004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345720920059845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75836175} λ = -0.75836175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345720920059845))-π/2
    2×atan(1.41300821853698)-π/2
    2×0.954914608443727-π/2
    1.90982921688745-1.57079632675     		φ = 0.33903289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75836175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.450928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33903289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.425154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49716 KachelY 58324 -0.75836175 0.33903289 -43.450928 19.425154
    Oben rechts KachelX + 1 49717 KachelY 58324 -0.75831382 0.33903289 -43.448181 19.425154
    Unten links KachelX 49716 KachelY + 1 58325 -0.75836175 0.33898768 -43.450928 19.422563
    Unten rechts KachelX + 1 49717 KachelY + 1 58325 -0.75831382 0.33898768 -43.448181 19.422563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33903289-0.33898768) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33903289-0.33898768) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75836175--0.75831382) × cos(0.33903289) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94307674329974 × 6371000     		do = 287.979828779307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75836175--0.75831382) × cos(0.33898768) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943091778060226 × 6371000     		du = 287.984419824289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33903289)-sin(0.33898768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94307674329974-0.943091778060226)×R²
    abs(-0.75831382--0.75836175)×1.50347604852552e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.50347604852552e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.50347604852552e-05×40589641000000     		ar = 82948.3293046783m²