Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49715 / 58355
↖ ↑ ↗
← N 19.344836°
W 43.453674°		 ← 288.18 m → N 19.344836°
W 43.450928°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.342245°
W 43.453674°		 ← 288.19 m →
83 043 m²		 N 19.342245°
W 43.450928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379299163818359 y=0.445217132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379299163818359 × 217)
    floor (0.379299163818359 × 131072)
    floor (49715.5)     		tx = 49715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445217132568359 × 217)
    floor (0.445217132568359 × 131072)
    floor (58355.5)     		ty = 58355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49715 / 58355 ti = "17/49715/58355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49715/58355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49715 ÷ 217
    49715 ÷ 131072     		x = 0.379295349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58355 ÷ 217
    58355 ÷ 131072     		y = 0.445213317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379295349121094 × 2 - 1) × π
    -0.241409301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75840969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445213317871094 × 2 - 1) × π
    0.109573364257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.344234876171623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75840969} λ = -0.75840969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344234876171623))-π/2
    2×atan(1.41090998572897)-π/2
    2×0.954213708772446-π/2
    1.90842741754489-1.57079632675     		φ = 0.33763109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75840969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.453674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33763109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.344836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49715 KachelY 58355 -0.75840969 0.33763109 -43.453674 19.344836
    Oben rechts KachelX + 1 49716 KachelY 58355 -0.75836175 0.33763109 -43.450928 19.344836
    Unten links KachelX 49715 KachelY + 1 58356 -0.75840969 0.33758586 -43.453674 19.342245
    Unten rechts KachelX + 1 49716 KachelY + 1 58356 -0.75836175 0.33758586 -43.450928 19.342245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33763109-0.33758586) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33763109-0.33758586) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75840969--0.75836175) × cos(0.33763109) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943542020453665 × 6371000     		do = 288.182019818634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75840969--0.75836175) × cos(0.33758586) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94355700205528 × 6371000     		du = 288.186595585394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33763109)-sin(0.33758586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943542020453665-0.94355700205528)×R²
    abs(-0.75836175--0.75840969)×1.49816016151716e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49816016151716e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49816016151716e-05×40589641000000     		ar = 83043.2852224345m²