Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49714 / 58043
↖ ↑ ↗
← N 20.151363°
W 43.456421°		 ← 286.73 m → N 20.151363°
W 43.453674°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 20.148785°
W 43.456421°		 ← 286.73 m →
82 205 m²		 N 20.148785°
W 43.453674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379291534423828 y=0.442836761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379291534423828 × 217)
    floor (0.379291534423828 × 131072)
    floor (49714.5)     		tx = 49714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442836761474609 × 217)
    floor (0.442836761474609 × 131072)
    floor (58043.5)     		ty = 58043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49714 / 58043 ti = "17/49714/58043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49714/58043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49714 ÷ 217
    49714 ÷ 131072     		x = 0.379287719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58043 ÷ 217
    58043 ÷ 131072     		y = 0.442832946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.241424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75845763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442832946777344 × 2 - 1) × π
    0.114334106445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.359191188853081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75845763} λ = -0.75845763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359191188853081))-π/2
    2×atan(1.43217059045074)-π/2
    2×0.961251980871981-π/2
    1.92250396174396-1.57079632675     		φ = 0.35170763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75845763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.456421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35170763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.151363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49714 KachelY 58043 -0.75845763 0.35170763 -43.456421 20.151363
    Oben rechts KachelX + 1 49715 KachelY 58043 -0.75840969 0.35170763 -43.453674 20.151363
    Unten links KachelX 49714 KachelY + 1 58044 -0.75845763 0.35166263 -43.456421 20.148785
    Unten rechts KachelX + 1 49715 KachelY + 1 58044 -0.75840969 0.35166263 -43.453674 20.148785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35170763-0.35166263) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35170763-0.35166263) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75845763--0.75840969) × cos(0.35170763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938785800943823 × 6371000     		do = 286.729347954572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75845763--0.75840969) × cos(0.35166263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938801302556646 × 6371000     		du = 286.73408254614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35170763)-sin(0.35166263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938785800943823-0.938801302556646)×R²
    abs(-0.75840969--0.75845763)×1.55016128232655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55016128232655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55016128232655e-05×40589641000000     		ar = 82204.5491176098m²