Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49712 / 58351
↖ ↑ ↗
← N 19.355202°
W 43.461914°		 ← 288.16 m → N 19.355202°
W 43.459167°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.352611°
W 43.461914°		 ← 288.17 m →
83 038 m²		 N 19.352611°
W 43.459167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379276275634766 y=0.445186614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379276275634766 × 217)
    floor (0.379276275634766 × 131072)
    floor (49712.5)     		tx = 49712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445186614990234 × 217)
    floor (0.445186614990234 × 131072)
    floor (58351.5)     		ty = 58351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49712 / 58351 ti = "17/49712/58351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49712/58351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49712 ÷ 217
    49712 ÷ 131072     		x = 0.3792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58351 ÷ 217
    58351 ÷ 131072     		y = 0.445182800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75855350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445182800292969 × 2 - 1) × π
    0.109634399414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.344426623770103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75855350} λ = -0.75855350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344426623770103))-π/2
    2×atan(1.41118055026963)-π/2
    2×0.954304166857331-π/2
    1.90860833371466-1.57079632675     		φ = 0.33781201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75855350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33781201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.355202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49712 KachelY 58351 -0.75855350 0.33781201 -43.461914 19.355202
    Oben rechts KachelX + 1 49713 KachelY 58351 -0.75850556 0.33781201 -43.459167 19.355202
    Unten links KachelX 49712 KachelY + 1 58352 -0.75855350 0.33776678 -43.461914 19.352611
    Unten rechts KachelX + 1 49713 KachelY + 1 58352 -0.75850556 0.33776678 -43.459167 19.352611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33781201-0.33776678) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33781201-0.33776678) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75855350--0.75850556) × cos(0.33781201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943482074744973 × 6371000     		do = 288.16371085553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75855350--0.75850556) × cos(0.33776678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943497064067419 × 6371000     		du = 288.16828898043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33781201)-sin(0.33776678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943482074744973-0.943497064067419)×R²
    abs(-0.75850556--0.75855350)×1.49893224464792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49893224464792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49893224464792e-05×40589641000000     		ar = 83038.0096452549m²