Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49711 / 58350
↖ ↑ ↗
← N 19.357793°
W 43.464661°		 ← 288.16 m → N 19.357793°
W 43.461914°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.355202°
W 43.464661°		 ← 288.16 m →
83 018 m²		 N 19.355202°
W 43.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379268646240234 y=0.445178985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379268646240234 × 217)
    floor (0.379268646240234 × 131072)
    floor (49711.5)     		tx = 49711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445178985595703 × 217)
    floor (0.445178985595703 × 131072)
    floor (58350.5)     		ty = 58350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49711 / 58350 ti = "17/49711/58350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49711/58350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49711 ÷ 217
    49711 ÷ 131072     		x = 0.379264831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58350 ÷ 217
    58350 ÷ 131072     		y = 0.445175170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379264831542969 × 2 - 1) × π
    -0.241470336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75860144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    0.109649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.344474560669724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75860144} λ = -0.75860144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344474560669724))-π/2
    2×atan(1.41124819951145)-π/2
    2×0.954326780480466-π/2
    1.90865356096093-1.57079632675     		φ = 0.33785723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75860144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.464661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33785723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.357793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49711 KachelY 58350 -0.75860144 0.33785723 -43.464661 19.357793
    Oben rechts KachelX + 1 49712 KachelY 58350 -0.75855350 0.33785723 -43.461914 19.357793
    Unten links KachelX 49711 KachelY + 1 58351 -0.75860144 0.33781201 -43.464661 19.355202
    Unten rechts KachelX + 1 49712 KachelY + 1 58351 -0.75855350 0.33781201 -43.461914 19.355202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33785723-0.33781201) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33785723-0.33781201) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75860144--0.75855350) × cos(0.33785723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943467086807057 × 6371000     		do = 288.159133153501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75860144--0.75855350) × cos(0.33781201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943482074744973 × 6371000     		du = 288.16371085553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33785723)-sin(0.33781201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943467086807057-0.943482074744973)×R²
    abs(-0.75855350--0.75860144)×1.49879379155449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49879379155449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49879379155449e-05×40589641000000     		ar = 83018.3317080536m²