Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49710 / 83343
↖ ↑ ↗
← S 43.864238°
W 43.467407°		 ← 220.16 m → S 43.864238°
W 43.464661°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.866218°
W 43.467407°		 ← 220.15 m →
48 475 m²		 S 43.866218°
W 43.464661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379261016845703 y=0.635860443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379261016845703 × 217)
    floor (0.379261016845703 × 131072)
    floor (49710.5)     		tx = 49710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635860443115234 × 217)
    floor (0.635860443115234 × 131072)
    floor (83343.5)     		ty = 83343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49710 / 83343 ti = "17/49710/83343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49710/83343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49710 ÷ 217
    49710 ÷ 131072     		x = 0.379257202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83343 ÷ 217
    83343 ÷ 131072     		y = 0.635856628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.241485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75864937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635856628417969 × 2 - 1) × π
    -0.271713256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.85361237153434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75864937} λ = -0.75864937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85361237153434))-π/2
    2×atan(0.425873735777743)-π/2
    2×0.40261047667653-π/2
    0.805220953353061-1.57079632675     		φ = -0.76557537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75864937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76557537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.864238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49710 KachelY 83343 -0.75864937 -0.76557537 -43.467407 -43.864238
    Oben rechts KachelX + 1 49711 KachelY 83343 -0.75860144 -0.76557537 -43.464661 -43.864238
    Unten links KachelX 49710 KachelY + 1 83344 -0.75864937 -0.76560993 -43.467407 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 49711 KachelY + 1 83344 -0.75860144 -0.76560993 -43.464661 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76557537--0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76557537--0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75864937--0.75860144) × cos(-0.76557537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720983773038687 × 6371000     		do = 220.161068532287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75864937--0.75860144) × cos(-0.76560993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 220.153755462894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76557537)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720983773038687-0.72095982418888)×R²
    abs(-0.75860144--0.75864937)×2.39488498069429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39488498069429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39488498069429e-05×40589641000000     		ar = 48474.646455434m²