Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4971 / 1213
↖ ↑ ↗
← N 77.494607°
E 38.452148°		 ← 1 058.09 m → N 77.494607°
E 38.496094°		 →
↑
1 058.48 m
↓
↑
1 058.48 m
↓
N 77.485088°
E 38.452148°		 ← 1 058.89 m →
1 120 388 m²		 N 77.485088°
E 38.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60687255859375 y=0.14813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60687255859375 × 213)
    floor (0.60687255859375 × 8192)
    floor (4971.5)     		tx = 4971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14813232421875 × 213)
    floor (0.14813232421875 × 8192)
    floor (1213.5)     		ty = 1213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4971 / 1213 ti = "13/4971/1213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4971/1213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4971 ÷ 213
    4971 ÷ 8192     		x = 0.6068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1213 ÷ 213
    1213 ÷ 8192     		y = 0.1480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6068115234375 × 2 - 1) × π
    0.213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67111659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1480712890625 × 2 - 1) × π
    0.703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21123330567395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67111659} λ = 0.67111659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21123330567395))-π/2
    2×atan(9.12696579333867)-π/2
    2×1.46166618745317-π/2
    2.92333237490634-1.57079632675     		φ = 1.35253605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67111659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.452148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35253605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.494607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4971 KachelY 1213 0.67111659 1.35253605 38.452148 77.494607
    Oben rechts KachelX + 1 4972 KachelY 1213 0.67188359 1.35253605 38.496094 77.494607
    Unten links KachelX 4971 KachelY + 1 1214 0.67111659 1.35236991 38.452148 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 4972 KachelY + 1 1214 0.67188359 1.35236991 38.496094 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35253605-1.35236991) × R
    0.000166140000000148 × 6371000     		dl = 1058.47794000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35253605-1.35236991) × R
    0.000166140000000148 × 6371000     		dr = 1058.47794000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67111659-0.67188359) × cos(1.35253605) × R
    0.000766999999999962 × 0.216531502248076 × 6371000     		do = 1058.0935280308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67111659-0.67188359) × cos(1.35236991) × R
    0.000766999999999962 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 1058.88610531429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35253605)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216531502248076-0.216693697692332)×R²
    abs(0.67188359-0.67111659)×0.000162195444255248×R²
    0.000766999999999962×0.000162195444255248×6371000²
    0.000766999999999962×0.000162195444255248×40589641000000     		ar = 1120388.12324086m²