Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49709 / 80461
↖ ↑ ↗
← S 37.885693°
W 43.470154°		 ← 241.05 m → S 37.885693°
W 43.467407°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 37.887860°
W 43.470154°		 ← 241.05 m →
58 097 m²		 S 37.887860°
W 43.467407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379253387451172 y=0.613872528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379253387451172 × 217)
    floor (0.379253387451172 × 131072)
    floor (49709.5)     		tx = 49709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613872528076172 × 217)
    floor (0.613872528076172 × 131072)
    floor (80461.5)     		ty = 80461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49709 / 80461 ti = "17/49709/80461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49709/80461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49709 ÷ 217
    49709 ÷ 131072     		x = 0.379249572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80461 ÷ 217
    80461 ÷ 131072     		y = 0.613868713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379249572753906 × 2 - 1) × π
    -0.241500854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.75869731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613868713378906 × 2 - 1) × π
    -0.227737426757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.715458226829338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75869731} λ = -0.75869731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715458226829338))-π/2
    2×atan(0.488968002196443)-π/2
    2×0.454783124739947-π/2
    0.909566249479894-1.57079632675     		φ = -0.66123008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75869731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.470154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66123008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.885693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49709 KachelY 80461 -0.75869731 -0.66123008 -43.470154 -37.885693
    Oben rechts KachelX + 1 49710 KachelY 80461 -0.75864937 -0.66123008 -43.467407 -37.885693
    Unten links KachelX 49709 KachelY + 1 80462 -0.75869731 -0.66126791 -43.470154 -37.887860
    Unten rechts KachelX + 1 49710 KachelY + 1 80462 -0.75864937 -0.66126791 -43.467407 -37.887860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66123008--0.66126791) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dl = 241.014929999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66123008--0.66126791) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dr = 241.014929999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75869731--0.75864937) × cos(-0.66123008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.789237451242996 × 6371000     		do = 241.053432581448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75869731--0.75864937) × cos(-0.66126791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.789214219723865 × 6371000     		du = 241.046337077526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66123008)-sin(-0.66126791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789237451242996-0.789214219723865)×R²
    abs(-0.75864937--0.75869731)×2.32315191305288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32315191305288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32315191305288e-05×40589641000000     		ar = 58096.6211255031m²