Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49708 / 80463
↖ ↑ ↗
← S 37.890028°
W 43.472901°		 ← 241.04 m → S 37.890028°
W 43.470154°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 37.892195°
W 43.472901°		 ← 241.03 m →
58 093 m²		 S 37.892195°
W 43.470154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379245758056641 y=0.613887786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379245758056641 × 217)
    floor (0.379245758056641 × 131072)
    floor (49708.5)     		tx = 49708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613887786865234 × 217)
    floor (0.613887786865234 × 131072)
    floor (80463.5)     		ty = 80463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49708 / 80463 ti = "17/49708/80463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49708/80463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49708 ÷ 217
    49708 ÷ 131072     		x = 0.379241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80463 ÷ 217
    80463 ÷ 131072     		y = 0.613883972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.24151611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75874525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613883972167969 × 2 - 1) × π
    -0.227767944335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.715554100628578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75874525} λ = -0.75874525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715554100628578))-π/2
    2×atan(0.488921125223538)-π/2
    2×0.454745292257131-π/2
    0.909490584514263-1.57079632675     		φ = -0.66130574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75874525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.472901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66130574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.890028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49708 KachelY 80463 -0.75874525 -0.66130574 -43.472901 -37.890028
    Oben rechts KachelX + 1 49709 KachelY 80463 -0.75869731 -0.66130574 -43.470154 -37.890028
    Unten links KachelX 49708 KachelY + 1 80464 -0.75874525 -0.66134357 -43.472901 -37.892195
    Unten rechts KachelX + 1 49709 KachelY + 1 80464 -0.75869731 -0.66134357 -43.470154 -37.892195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66130574--0.66134357) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dl = 241.014930000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66130574--0.66134357) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dr = 241.014930000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75874525--0.75869731) × cos(-0.66130574) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.789190987075283 × 6371000     		do = 241.039241229199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75874525--0.75869731) × cos(-0.66134357) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.789167753297283 × 6371000     		du = 241.03214503536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66130574)-sin(-0.66134357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789190987075283-0.789167753297283)×R²
    abs(-0.75869731--0.75874525)×2.32337780001757e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.32337780001757e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.32337780001757e-05×40589641000000     		ar = 58093.2007146895m²