Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49707 / 83239
↖ ↑ ↗
← S 43.657937°
W 43.475647°		 ← 220.92 m → S 43.657937°
W 43.472901°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 43.659924°
W 43.475647°		 ← 220.91 m →
48 811 m²		 S 43.659924°
W 43.472901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379238128662109 y=0.635066986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379238128662109 × 217)
    floor (0.379238128662109 × 131072)
    floor (49707.5)     		tx = 49707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635066986083984 × 217)
    floor (0.635066986083984 × 131072)
    floor (83239.5)     		ty = 83239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49707 / 83239 ti = "17/49707/83239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49707/83239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49707 ÷ 217
    49707 ÷ 131072     		x = 0.379234313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83239 ÷ 217
    83239 ÷ 131072     		y = 0.635063171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379234313964844 × 2 - 1) × π
    -0.241531372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75879318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635063171386719 × 2 - 1) × π
    -0.270126342773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.848626933973854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75879318} λ = -0.75879318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848626933973854))-π/2
    2×atan(0.428002203960211)-π/2
    2×0.404410790535331-π/2
    0.808821581070661-1.57079632675     		φ = -0.76197475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75879318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.475647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76197475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.657937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49707 KachelY 83239 -0.75879318 -0.76197475 -43.475647 -43.657937
    Oben rechts KachelX + 1 49708 KachelY 83239 -0.75874525 -0.76197475 -43.472901 -43.657937
    Unten links KachelX 49707 KachelY + 1 83240 -0.75879318 -0.76200943 -43.475647 -43.659924
    Unten rechts KachelX + 1 49708 KachelY + 1 83240 -0.75874525 -0.76200943 -43.472901 -43.659924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76197475--0.76200943) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dl = 220.946279999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76197475--0.76200943) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dr = 220.946279999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75879318--0.75874525) × cos(-0.76197475) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723474150702974 × 6371000     		do = 220.92153531081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75879318--0.75874525) × cos(-0.76200943) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		du = 220.914224386811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76197475)-sin(-0.76200943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723474150702974-0.723450208878909)×R²
    abs(-0.75874525--0.75879318)×2.39418240652878e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39418240652878e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39418240652878e-05×40589641000000     		ar = 48810.983742943m²