Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49706 / 83354
↖ ↑ ↗
← S 43.886016°
W 43.478393°		 ← 220.13 m → S 43.886016°
W 43.475647°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 43.887996°
W 43.478393°		 ← 220.12 m →
48 453 m²		 S 43.887996°
W 43.475647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379230499267578 y=0.635944366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379230499267578 × 217)
    floor (0.379230499267578 × 131072)
    floor (49706.5)     		tx = 49706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635944366455078 × 217)
    floor (0.635944366455078 × 131072)
    floor (83354.5)     		ty = 83354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49706 / 83354 ti = "17/49706/83354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49706/83354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49706 ÷ 217
    49706 ÷ 131072     		x = 0.379226684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83354 ÷ 217
    83354 ÷ 131072     		y = 0.635940551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.241546630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75884112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635940551757812 × 2 - 1) × π
    -0.271881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854139677430161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75884112} λ = -0.75884112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854139677430161))-π/2
    2×atan(0.425649229243004)-π/2
    2×0.402420421909477-π/2
    0.804840843818954-1.57079632675     		φ = -0.76595548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75884112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.478393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76595548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.886016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49706 KachelY 83354 -0.75884112 -0.76595548 -43.478393 -43.886016
    Oben rechts KachelX + 1 49707 KachelY 83354 -0.75879318 -0.76595548 -43.475647 -43.886016
    Unten links KachelX 49706 KachelY + 1 83355 -0.75884112 -0.76599003 -43.478393 -43.887996
    Unten rechts KachelX + 1 49707 KachelY + 1 83355 -0.75879318 -0.76599003 -43.475647 -43.887996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76595548--0.76599003) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dl = 220.118049999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76595548--0.76599003) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dr = 220.118049999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75884112--0.75879318) × cos(-0.76595548) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72072032299579 × 6371000     		do = 220.126537984394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75884112--0.75879318) × cos(-0.76599003) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720696371609103 × 6371000     		du = 220.119222614391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76595548)-sin(-0.76599003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72072032299579-0.720696371609103)×R²
    abs(-0.75879318--0.75884112)×2.39513866873153e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39513866873153e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39513866873153e-05×40589641000000     		ar = 48453.0191766668m²