Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49705 / 83041
↖ ↑ ↗
← S 43.263206°
W 43.481140°		 ← 222.42 m → S 43.263206°
W 43.478393°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.265206°
W 43.481140°		 ← 222.41 m →
49 467 m²		 S 43.265206°
W 43.478393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379222869873047 y=0.633556365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379222869873047 × 217)
    floor (0.379222869873047 × 131072)
    floor (49705.5)     		tx = 49705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633556365966797 × 217)
    floor (0.633556365966797 × 131072)
    floor (83041.5)     		ty = 83041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49705 / 83041 ti = "17/49705/83041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49705/83041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49705 ÷ 217
    49705 ÷ 131072     		x = 0.379219055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83041 ÷ 217
    83041 ÷ 131072     		y = 0.633552551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.241561889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75888906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633552551269531 × 2 - 1) × π
    -0.267105102539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.839135427849083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75888906} λ = -0.75888906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839135427849083))-π/2
    2×atan(0.432083929719975)-π/2
    2×0.407855466351376-π/2
    0.815710932702752-1.57079632675     		φ = -0.75508539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75888906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.481140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75508539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.263206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49705 KachelY 83041 -0.75888906 -0.75508539 -43.481140 -43.263206
    Oben rechts KachelX + 1 49706 KachelY 83041 -0.75884112 -0.75508539 -43.478393 -43.263206
    Unten links KachelX 49705 KachelY + 1 83042 -0.75888906 -0.75512030 -43.481140 -43.265206
    Unten rechts KachelX + 1 49706 KachelY + 1 83042 -0.75884112 -0.75512030 -43.478393 -43.265206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75508539--0.75512030) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75508539--0.75512030) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75888906--0.75884112) × cos(-0.75508539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728213023728263 × 6371000     		do = 222.415001649697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75888906--0.75884112) × cos(-0.75512030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728189097686241 × 6371000     		du = 222.407694020607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75508539)-sin(-0.75512030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728213023728263-0.728189097686241)×R²
    abs(-0.75884112--0.75888906)×2.3926042022171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3926042022171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3926042022171e-05×40589641000000     		ar = 49466.8659594663m²