Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49704 / 83240
↖ ↑ ↗
← S 43.659924°
W 43.483886°		 ← 220.91 m → S 43.659924°
W 43.481140°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 43.661911°
W 43.483886°		 ← 220.91 m →
48 809 m²		 S 43.661911°
W 43.481140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379215240478516 y=0.635074615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379215240478516 × 217)
    floor (0.379215240478516 × 131072)
    floor (49704.5)     		tx = 49704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635074615478516 × 217)
    floor (0.635074615478516 × 131072)
    floor (83240.5)     		ty = 83240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49704 / 83240 ti = "17/49704/83240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49704/83240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49704 ÷ 217
    49704 ÷ 131072     		x = 0.37921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83240 ÷ 217
    83240 ÷ 131072     		y = 0.63507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75893699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75893699} λ = -0.75893699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848674870873474))-π/2
    2×atan(0.427981687353277)-π/2
    2×0.404393450268318-π/2
    0.808786900536636-1.57079632675     		φ = -0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75893699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.483886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49704 KachelY 83240 -0.75893699 -0.76200943 -43.483886 -43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 49705 KachelY 83240 -0.75888906 -0.76200943 -43.481140 -43.659924
    Unten links KachelX 49704 KachelY + 1 83241 -0.75893699 -0.76204411 -43.483886 -43.661911
    Unten rechts KachelX + 1 49705 KachelY + 1 83241 -0.75888906 -0.76204411 -43.481140 -43.661911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76200943--0.76204411) × R
    3.46800000000647e-05 × 6371000     		dl = 220.946280000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76200943--0.76204411) × R
    3.46800000000647e-05 × 6371000     		dr = 220.946280000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75893699--0.75888906) × cos(-0.76200943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 220.914224387323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75893699--0.75888906) × cos(-0.76204411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723426266184748 × 6371000     		du = 220.90691319763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76200943)-sin(-0.76204411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723426266184748)×R²
    abs(-0.75888906--0.75893699)×2.39426941607279e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39426941607279e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39426941607279e-05×40589641000000     		ar = 48809.3683923689m²