Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49704 / 58344
↖ ↑ ↗
← N 19.373341°
W 43.483886°		 ← 288.07 m → N 19.373341°
W 43.481140°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.370750°
W 43.483886°		 ← 288.08 m →
82 993 m²		 N 19.370750°
W 43.481140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379215240478516 y=0.445133209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379215240478516 × 217)
    floor (0.379215240478516 × 131072)
    floor (49704.5)     		tx = 49704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445133209228516 × 217)
    floor (0.445133209228516 × 131072)
    floor (58344.5)     		ty = 58344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49704 / 58344 ti = "17/49704/58344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49704/58344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49704 ÷ 217
    49704 ÷ 131072     		x = 0.37921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58344 ÷ 217
    58344 ÷ 131072     		y = 0.44512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75893699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    0.1097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.344762182067444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75893699} λ = -0.75893699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344762182067444))-π/2
    2×atan(1.41165416307023)-π/2
    2×0.954462454672235-π/2
    1.90892490934447-1.57079632675     		φ = 0.33812858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75893699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.483886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33812858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.373341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49704 KachelY 58344 -0.75893699 0.33812858 -43.483886 19.373341
    Oben rechts KachelX + 1 49705 KachelY 58344 -0.75888906 0.33812858 -43.481140 19.373341
    Unten links KachelX 49704 KachelY + 1 58345 -0.75893699 0.33808336 -43.483886 19.370750
    Unten rechts KachelX + 1 49705 KachelY + 1 58345 -0.75888906 0.33808336 -43.481140 19.370750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33812858-0.33808336) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33812858-0.33808336) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75893699--0.75888906) × cos(0.33812858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943377108714781 × 6371000     		do = 288.071548972852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75893699--0.75888906) × cos(0.33808336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943392108228999 × 6371000     		du = 288.076129254963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33812858)-sin(0.33808336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943377108714781-0.943392108228999)×R²
    abs(-0.75888906--0.75893699)×1.49995142183501e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49995142183501e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49995142183501e-05×40589641000000     		ar = 82993.099373263m²