Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49703 / 83039
↖ ↑ ↗
← S 43.259206°
W 43.486633°		 ← 222.43 m → S 43.259206°
W 43.483886°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.261206°
W 43.486633°		 ← 222.42 m →
49 470 m²		 S 43.261206°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379207611083984 y=0.633541107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379207611083984 × 217)
    floor (0.379207611083984 × 131072)
    floor (49703.5)     		tx = 49703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633541107177734 × 217)
    floor (0.633541107177734 × 131072)
    floor (83039.5)     		ty = 83039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49703 / 83039 ti = "17/49703/83039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49703/83039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49703 ÷ 217
    49703 ÷ 131072     		x = 0.379203796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83039 ÷ 217
    83039 ÷ 131072     		y = 0.633537292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379203796386719 × 2 - 1) × π
    -0.241592407226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75898493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633537292480469 × 2 - 1) × π
    -0.267074584960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.839039554049843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75898493} λ = -0.75898493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839039554049843))-π/2
    2×atan(0.432125357233782)-π/2
    2×0.407890375772721-π/2
    0.815780751545442-1.57079632675     		φ = -0.75501558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75898493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.486633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75501558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.259206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49703 KachelY 83039 -0.75898493 -0.75501558 -43.486633 -43.259206
    Oben rechts KachelX + 1 49704 KachelY 83039 -0.75893699 -0.75501558 -43.483886 -43.259206
    Unten links KachelX 49703 KachelY + 1 83040 -0.75898493 -0.75505049 -43.486633 -43.261206
    Unten rechts KachelX + 1 49704 KachelY + 1 83040 -0.75893699 -0.75505049 -43.483886 -43.261206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75501558--0.75505049) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75501558--0.75505049) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75898493--0.75893699) × cos(-0.75501558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728260866296841 × 6371000     		do = 222.429614001608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75898493--0.75893699) × cos(-0.75505049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728236942029552 × 6371000     		du = 222.422306914567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75501558)-sin(-0.75505049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728260866296841-0.728236942029552)×R²
    abs(-0.75893699--0.75898493)×2.39242672890327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39242672890327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39242672890327e-05×40589641000000     		ar = 49470.1159763028m²