Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49702 / 83350
↖ ↑ ↗
← S 43.878098°
W 43.489380°		 ← 220.16 m → S 43.878098°
W 43.486633°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 43.880078°
W 43.489380°		 ← 220.15 m →
48 459 m²		 S 43.880078°
W 43.486633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379199981689453 y=0.635913848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379199981689453 × 217)
    floor (0.379199981689453 × 131072)
    floor (49702.5)     		tx = 49702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635913848876953 × 217)
    floor (0.635913848876953 × 131072)
    floor (83350.5)     		ty = 83350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49702 / 83350 ti = "17/49702/83350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49702/83350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49702 ÷ 217
    49702 ÷ 131072     		x = 0.379196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83350 ÷ 217
    83350 ÷ 131072     		y = 0.635910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635910034179688 × 2 - 1) × π
    -0.271820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.85394792983168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75903287} λ = -0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85394792983168))-π/2
    2×atan(0.425730854285959)-π/2
    2×0.402489524697236-π/2
    0.804979049394473-1.57079632675     		φ = -0.76581728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76581728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.878098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49702 KachelY 83350 -0.75903287 -0.76581728 -43.489380 -43.878098
    Oben rechts KachelX + 1 49703 KachelY 83350 -0.75898493 -0.76581728 -43.486633 -43.878098
    Unten links KachelX 49702 KachelY + 1 83351 -0.75903287 -0.76585183 -43.489380 -43.880078
    Unten rechts KachelX + 1 49703 KachelY + 1 83351 -0.75898493 -0.76585183 -43.486633 -43.880078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76581728--0.76585183) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dl = 220.118049999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76581728--0.76585183) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dr = 220.118049999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75903287--0.75898493) × cos(-0.76581728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720816119938997 × 6371000     		do = 220.155796836153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75903287--0.75898493) × cos(-0.76585183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720792171993784 × 6371000     		du = 220.148482517264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76581728)-sin(-0.76585183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720816119938997-0.720792171993784)×R²
    abs(-0.75898493--0.75903287)×2.39479452132096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39479452132096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39479452132096e-05×40589641000000     		ar = 48459.459693754m²