Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49702 / 83042
↖ ↑ ↗
← S 43.265206°
W 43.489380°		 ← 222.41 m → S 43.265206°
W 43.486633°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.267206°
W 43.489380°		 ← 222.40 m →
49 465 m²		 S 43.267206°
W 43.486633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379199981689453 y=0.633563995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379199981689453 × 217)
    floor (0.379199981689453 × 131072)
    floor (49702.5)     		tx = 49702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633563995361328 × 217)
    floor (0.633563995361328 × 131072)
    floor (83042.5)     		ty = 83042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49702 / 83042 ti = "17/49702/83042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49702/83042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49702 ÷ 217
    49702 ÷ 131072     		x = 0.379196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83042 ÷ 217
    83042 ÷ 131072     		y = 0.633560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633560180664062 × 2 - 1) × π
    -0.267120361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.839183364748703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75903287} λ = -0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839183364748703))-π/2
    2×atan(0.432063217452453)-π/2
    2×0.407838012500849-π/2
    0.815676025001698-1.57079632675     		φ = -0.75512030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75512030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.265206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49702 KachelY 83042 -0.75903287 -0.75512030 -43.489380 -43.265206
    Oben rechts KachelX + 1 49703 KachelY 83042 -0.75898493 -0.75512030 -43.486633 -43.265206
    Unten links KachelX 49702 KachelY + 1 83043 -0.75903287 -0.75515521 -43.489380 -43.267206
    Unten rechts KachelX + 1 49703 KachelY + 1 83043 -0.75898493 -0.75515521 -43.486633 -43.267206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75512030--0.75515521) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75512030--0.75515521) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75903287--0.75898493) × cos(-0.75512030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728189097686241 × 6371000     		do = 222.407694020607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75903287--0.75898493) × cos(-0.75515521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728165170756769 × 6371000     		du = 222.400386120467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75512030)-sin(-0.75515521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728189097686241-0.728165170756769)×R²
    abs(-0.75898493--0.75903287)×2.39269294721733e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39269294721733e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39269294721733e-05×40589641000000     		ar = 49465.2406275361m²