Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49702 / 16994
↖ ↑ ↗
← N 65.141497°
E 93.021240°		 ← 256.76 m → N 65.141497°
E 93.026733°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
N 65.139187°
E 93.021240°		 ← 256.78 m →
65 943 m²		 N 65.139187°
E 93.026733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758399963378906 y=0.259315490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758399963378906 × 216)
    floor (0.758399963378906 × 65536)
    floor (49702.5)     		tx = 49702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259315490722656 × 216)
    floor (0.259315490722656 × 65536)
    floor (16994.5)     		ty = 16994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49702 / 16994 ti = "16/49702/16994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49702/16994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49702 ÷ 216
    49702 ÷ 65536     		x = 0.758392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16994 ÷ 216
    16994 ÷ 65536     		y = 0.259307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758392333984375 × 2 - 1) × π
    0.51678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62352692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259307861328125 × 2 - 1) × π
    0.48138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51231330921353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62352692} λ = 1.62352692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51231330921353))-π/2
    2×atan(4.53721464388555)-π/2
    2×1.35386496307054-π/2
    2.70772992614108-1.57079632675     		φ = 1.13693360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62352692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.021240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13693360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.141497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49702 KachelY 16994 1.62352692 1.13693360 93.021240 65.141497
    Oben rechts KachelX + 1 49703 KachelY 16994 1.62362279 1.13693360 93.026733 65.141497
    Unten links KachelX 49702 KachelY + 1 16995 1.62352692 1.13689329 93.021240 65.139187
    Unten rechts KachelX + 1 49703 KachelY + 1 16995 1.62362279 1.13689329 93.026733 65.139187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13693360-1.13689329) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dl = 256.815010000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13693360-1.13689329) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dr = 256.815010000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62352692-1.62362279) × cos(1.13693360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420378770065312 × 6371000     		do = 256.762211523529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62352692-1.62362279) × cos(1.13689329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420415344950448 × 6371000     		du = 256.784551016059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13693360)-sin(1.13689329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420378770065312-0.420415344950448)×R²
    abs(1.62362279-1.62352692)×3.65748851351988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65748851351988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65748851351988e-05×40589641000000     		ar = 65943.2584877095m²