Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49701 / 83101
↖ ↑ ↗
← S 43.383094°
W 43.492127°		 ← 221.98 m → S 43.383094°
W 43.489380°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
S 43.385090°
W 43.492127°		 ← 221.97 m →
49 256 m²		 S 43.385090°
W 43.489380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379192352294922 y=0.634014129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379192352294922 × 217)
    floor (0.379192352294922 × 131072)
    floor (49701.5)     		tx = 49701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634014129638672 × 217)
    floor (0.634014129638672 × 131072)
    floor (83101.5)     		ty = 83101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49701 / 83101 ti = "17/49701/83101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49701/83101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49701 ÷ 217
    49701 ÷ 131072     		x = 0.379188537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83101 ÷ 217
    83101 ÷ 131072     		y = 0.634010314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379188537597656 × 2 - 1) × π
    -0.241622924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75908081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634010314941406 × 2 - 1) × π
    -0.268020629882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.842011641826286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75908081} λ = -0.75908081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842011641826286))-π/2
    2×atan(0.430842949399972)-π/2
    2×0.406809250378816-π/2
    0.813618500757632-1.57079632675     		φ = -0.75717783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75908081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.492127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75717783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.383094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49701 KachelY 83101 -0.75908081 -0.75717783 -43.492127 -43.383094
    Oben rechts KachelX + 1 49702 KachelY 83101 -0.75903287 -0.75717783 -43.489380 -43.383094
    Unten links KachelX 49701 KachelY + 1 83102 -0.75908081 -0.75721266 -43.492127 -43.385090
    Unten rechts KachelX + 1 49702 KachelY + 1 83102 -0.75903287 -0.75721266 -43.489380 -43.385090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75717783--0.75721266) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dl = 221.901929999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75717783--0.75721266) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dr = 221.901929999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75908081--0.75903287) × cos(-0.75717783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.726777375066475 × 6371000     		do = 221.976517595304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75908081--0.75903287) × cos(-0.75721266) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.726753450835783 × 6371000     		du = 221.969210519441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75717783)-sin(-0.75721266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726777375066475-0.726753450835783)×R²
    abs(-0.75903287--0.75908081)×2.39242306921961e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39242306921961e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39242306921961e-05×40589641000000     		ar = 49256.2069469125m²