Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49701 / 83044
↖ ↑ ↗
← S 43.269206°
W 43.492127°		 ← 222.39 m → S 43.269206°
W 43.489380°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.271206°
W 43.492127°		 ← 222.39 m →
49 462 m²		 S 43.271206°
W 43.489380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379192352294922 y=0.633579254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379192352294922 × 217)
    floor (0.379192352294922 × 131072)
    floor (49701.5)     		tx = 49701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633579254150391 × 217)
    floor (0.633579254150391 × 131072)
    floor (83044.5)     		ty = 83044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49701 / 83044 ti = "17/49701/83044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49701/83044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49701 ÷ 217
    49701 ÷ 131072     		x = 0.379188537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83044 ÷ 217
    83044 ÷ 131072     		y = 0.633575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379188537597656 × 2 - 1) × π
    -0.241622924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75908081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.26715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839279238547943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75908081} λ = -0.75908081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839279238547943))-π/2
    2×atan(0.432021795895937)-π/2
    2×0.407803106520098-π/2
    0.815606213040196-1.57079632675     		φ = -0.75519011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75908081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.492127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75519011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.269206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49701 KachelY 83044 -0.75908081 -0.75519011 -43.492127 -43.269206
    Oben rechts KachelX + 1 49702 KachelY 83044 -0.75903287 -0.75519011 -43.489380 -43.269206
    Unten links KachelX 49701 KachelY + 1 83045 -0.75908081 -0.75522502 -43.492127 -43.271206
    Unten rechts KachelX + 1 49702 KachelY + 1 83045 -0.75903287 -0.75522502 -43.489380 -43.271206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75519011--0.75522502) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75519011--0.75522502) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75908081--0.75903287) × cos(-0.75519011) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.728141249794147 × 6371000     		do = 222.393080043271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75908081--0.75903287) × cos(-0.75522502) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.728117321090117 × 6371000     		du = 222.385771601136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75519011)-sin(-0.75522502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728141249794147-0.728117321090117)×R²
    abs(-0.75903287--0.75908081)×2.39287040303404e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39287040303404e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39287040303404e-05×40589641000000     		ar = 49461.9902491721m²