Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49699 / 16995
↖ ↑ ↗
← N 65.139187°
E 93.004760°		 ← 256.81 m → N 65.139187°
E 93.010254°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
N 65.136878°
E 93.004760°		 ← 256.83 m →
65 940 m²		 N 65.136878°
E 93.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758354187011719 y=0.259330749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758354187011719 × 216)
    floor (0.758354187011719 × 65536)
    floor (49699.5)     		tx = 49699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259330749511719 × 216)
    floor (0.259330749511719 × 65536)
    floor (16995.5)     		ty = 16995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49699 / 16995 ti = "16/49699/16995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49699/16995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49699 ÷ 216
    49699 ÷ 65536     		x = 0.758346557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16995 ÷ 216
    16995 ÷ 65536     		y = 0.259323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758346557617188 × 2 - 1) × π
    0.516693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.62323929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259323120117188 × 2 - 1) × π
    0.481353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51221743541429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62323929} λ = 1.62323929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51221743541429))-π/2
    2×atan(4.53677966473156)-π/2
    2×1.35384481053908-π/2
    2.70768962107817-1.57079632675     		φ = 1.13689329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62323929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.004760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13689329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.139187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49699 KachelY 16995 1.62323929 1.13689329 93.004760 65.139187
    Oben rechts KachelX + 1 49700 KachelY 16995 1.62333517 1.13689329 93.010254 65.139187
    Unten links KachelX 49699 KachelY + 1 16996 1.62323929 1.13685299 93.004760 65.136878
    Unten rechts KachelX + 1 49700 KachelY + 1 16996 1.62333517 1.13685299 93.010254 65.136878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13689329-1.13685299) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13689329-1.13685299) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62323929-1.62333517) × cos(1.13689329) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.420415344950448 × 6371000     		do = 256.811335678118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62323929-1.62333517) × cos(1.13685299) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		du = 256.833671541196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13689329)-sin(1.13685299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420415344950448-0.420451910079303)×R²
    abs(1.62333517-1.62323929)×3.65651288556368e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.65651288556368e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.65651288556368e-05×40589641000000     		ar = 65939.5116802252m²