Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49698 / 83075
↖ ↑ ↗
← S 43.331171°
W 43.500366°		 ← 222.17 m → S 43.331171°
W 43.497620°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
S 43.333169°
W 43.500366°		 ← 222.16 m →
49 355 m²		 S 43.333169°
W 43.497620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379169464111328 y=0.633815765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379169464111328 × 217)
    floor (0.379169464111328 × 131072)
    floor (49698.5)     		tx = 49698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633815765380859 × 217)
    floor (0.633815765380859 × 131072)
    floor (83075.5)     		ty = 83075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49698 / 83075 ti = "17/49698/83075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49698/83075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49698 ÷ 217
    49698 ÷ 131072     		x = 0.379165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83075 ÷ 217
    83075 ÷ 131072     		y = 0.633811950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.241668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75922462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633811950683594 × 2 - 1) × π
    -0.267623901367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.840765282436165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75922462} λ = -0.75922462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840765282436165))-π/2
    2×atan(0.431380269332939)-π/2
    2×0.407262357144083-π/2
    0.814524714288165-1.57079632675     		φ = -0.75627161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75922462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.500366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75627161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.331171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49698 KachelY 83075 -0.75922462 -0.75627161 -43.500366 -43.331171
    Oben rechts KachelX + 1 49699 KachelY 83075 -0.75917668 -0.75627161 -43.497620 -43.331171
    Unten links KachelX 49698 KachelY + 1 83076 -0.75922462 -0.75630648 -43.500366 -43.333169
    Unten rechts KachelX + 1 49699 KachelY + 1 83076 -0.75917668 -0.75630648 -43.497620 -43.333169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75627161--0.75630648) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75627161--0.75630648) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75922462--0.75917668) × cos(-0.75627161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727399534689035 × 6371000     		do = 222.166541157909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75922462--0.75917668) × cos(-0.75630648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		du = 222.159232707508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75627161)-sin(-0.75630648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727399534689035-0.727375605957945)×R²
    abs(-0.75917668--0.75922462)×2.39287310895842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39287310895842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39287310895842e-05×40589641000000     		ar = 49354.9893798526m²