Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49698 / 82906
↖ ↑ ↗
← S 42.992595°
W 43.500366°		 ← 223.40 m → S 42.992595°
W 43.497620°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 42.994603°
W 43.500366°		 ← 223.39 m →
49 900 m²		 S 42.994603°
W 43.497620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379169464111328 y=0.632526397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379169464111328 × 217)
    floor (0.379169464111328 × 131072)
    floor (49698.5)     		tx = 49698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632526397705078 × 217)
    floor (0.632526397705078 × 131072)
    floor (82906.5)     		ty = 82906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49698 / 82906 ti = "17/49698/82906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49698/82906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49698 ÷ 217
    49698 ÷ 131072     		x = 0.379165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82906 ÷ 217
    82906 ÷ 131072     		y = 0.632522583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.241668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75922462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632522583007812 × 2 - 1) × π
    -0.265045166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.832663946400375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75922462} λ = -0.75922462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832663946400375))-π/2
    2×atan(0.434889220257805)-π/2
    2×0.410216999234237-π/2
    0.820433998468475-1.57079632675     		φ = -0.75036233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75922462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.500366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75036233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.992595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49698 KachelY 82906 -0.75922462 -0.75036233 -43.500366 -42.992595
    Oben rechts KachelX + 1 49699 KachelY 82906 -0.75917668 -0.75036233 -43.497620 -42.992595
    Unten links KachelX 49698 KachelY + 1 82907 -0.75922462 -0.75039739 -43.500366 -42.994603
    Unten rechts KachelX + 1 49699 KachelY + 1 82907 -0.75917668 -0.75039739 -43.497620 -42.994603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75036233--0.75039739) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dl = 223.367260000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75036233--0.75039739) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dr = 223.367260000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75922462--0.75917668) × cos(-0.75036233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731441842678141 × 6371000     		do = 223.401166066788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75922462--0.75917668) × cos(-0.75039739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731417934680387 × 6371000     		du = 223.393863948882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75036233)-sin(-0.75039739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731441842678141-0.731417934680387)×R²
    abs(-0.75917668--0.75922462)×2.39079977538692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39079977538692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39079977538692e-05×40589641000000     		ar = 49899.6908234791m²