Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49698 / 16998
↖ ↑ ↗
← N 65.132258°
E 92.999268°		 ← 256.85 m → N 65.132258°
E 93.004760°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
N 65.129948°
E 92.999268°		 ← 256.87 m →
65 983 m²		 N 65.129948°
E 93.004760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758338928222656 y=0.259376525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758338928222656 × 216)
    floor (0.758338928222656 × 65536)
    floor (49698.5)     		tx = 49698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259376525878906 × 216)
    floor (0.259376525878906 × 65536)
    floor (16998.5)     		ty = 16998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49698 / 16998 ti = "16/49698/16998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49698/16998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49698 ÷ 216
    49698 ÷ 65536     		x = 0.758331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16998 ÷ 216
    16998 ÷ 65536     		y = 0.259368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758331298828125 × 2 - 1) × π
    0.51666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62314342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259368896484375 × 2 - 1) × π
    0.48126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51192981401657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62314342} λ = 1.62314342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51192981401657))-π/2
    2×atan(4.53547497746022)-π/2
    2×1.35378434242544-π/2
    2.70756868485088-1.57079632675     		φ = 1.13677236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62314342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13677236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.132258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49698 KachelY 16998 1.62314342 1.13677236 92.999268 65.132258
    Oben rechts KachelX + 1 49699 KachelY 16998 1.62323929 1.13677236 93.004760 65.132258
    Unten links KachelX 49698 KachelY + 1 16999 1.62314342 1.13673204 92.999268 65.129948
    Unten rechts KachelX + 1 49699 KachelY + 1 16999 1.62323929 1.13673204 93.004760 65.129948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13677236-1.13673204) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13677236-1.13673204) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62314342-1.62323929) × cos(1.13677236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420525065506828 × 6371000     		do = 256.851566990014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62314342-1.62323929) × cos(1.13673204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420561646731721 × 6371000     		du = 256.87391035479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13677236)-sin(1.13673204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420525065506828-0.420561646731721)×R²
    abs(1.62323929-1.62314342)×3.65812248930286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65812248930286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65812248930286e-05×40589641000000     		ar = 65982.5715344256m²