Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49697 / 82925
↖ ↑ ↗
← S 43.030753°
W 43.503113°		 ← 223.22 m → S 43.030753°
W 43.500366°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
S 43.032761°
W 43.503113°		 ← 223.21 m →
49 830 m²		 S 43.032761°
W 43.500366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379161834716797 y=0.632671356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379161834716797 × 217)
    floor (0.379161834716797 × 131072)
    floor (49697.5)     		tx = 49697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632671356201172 × 217)
    floor (0.632671356201172 × 131072)
    floor (82925.5)     		ty = 82925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49697 / 82925 ti = "17/49697/82925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49697/82925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49697 ÷ 217
    49697 ÷ 131072     		x = 0.379158020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82925 ÷ 217
    82925 ÷ 131072     		y = 0.632667541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379158020019531 × 2 - 1) × π
    -0.241683959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75927255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632667541503906 × 2 - 1) × π
    -0.265335083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.833574747493156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75927255} λ = -0.75927255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833574747493156))-π/2
    2×atan(0.434493303009057)-π/2
    2×0.409884003662478-π/2
    0.819768007324956-1.57079632675     		φ = -0.75102832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75927255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.503113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75102832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.030753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49697 KachelY 82925 -0.75927255 -0.75102832 -43.503113 -43.030753
    Oben rechts KachelX + 1 49698 KachelY 82925 -0.75922462 -0.75102832 -43.500366 -43.030753
    Unten links KachelX 49697 KachelY + 1 82926 -0.75927255 -0.75106336 -43.503113 -43.032761
    Unten rechts KachelX + 1 49698 KachelY + 1 82926 -0.75922462 -0.75106336 -43.500366 -43.032761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75102832--0.75106336) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75102832--0.75106336) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75927255--0.75922462) × cos(-0.75102832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730987539368404 × 6371000     		do = 223.215838926377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75927255--0.75922462) × cos(-0.75106336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730963627945679 × 6371000     		du = 223.208537285794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75102832)-sin(-0.75106336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730987539368404-0.730963627945679)×R²
    abs(-0.75922462--0.75927255)×2.39114227240655e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39114227240655e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39114227240655e-05×40589641000000     		ar = 49829.853163922m²