Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49695 / 16992
↖ ↑ ↗
← N 65.146115°
E 92.982788°		 ← 256.72 m → N 65.146115°
E 92.988281°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
N 65.143806°
E 92.982788°		 ← 256.74 m →
65 915 m²		 N 65.143806°
E 92.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758293151855469 y=0.259284973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758293151855469 × 216)
    floor (0.758293151855469 × 65536)
    floor (49695.5)     		tx = 49695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259284973144531 × 216)
    floor (0.259284973144531 × 65536)
    floor (16992.5)     		ty = 16992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49695 / 16992 ti = "16/49695/16992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49695/16992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49695 ÷ 216
    49695 ÷ 65536     		x = 0.758285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16992 ÷ 216
    16992 ÷ 65536     		y = 0.25927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758285522460938 × 2 - 1) × π
    0.516571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62285580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62285580} λ = 1.62285580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51250505681201))-π/2
    2×atan(4.53808472731284)-π/2
    2×1.35390526287454-π/2
    2.70781052574908-1.57079632675     		φ = 1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62285580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.982788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49695 KachelY 16992 1.62285580 1.13701420 92.982788 65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 49696 KachelY 16992 1.62295167 1.13701420 92.988281 65.146115
    Unten links KachelX 49695 KachelY + 1 16993 1.62285580 1.13697390 92.982788 65.143806
    Unten rechts KachelX + 1 49696 KachelY + 1 16993 1.62295167 1.13697390 92.988281 65.143806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13701420-1.13697390) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13701420-1.13697390) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62285580-1.62295167) × cos(1.13701420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 256.717542371234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62285580-1.62295167) × cos(1.13697390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420342203570762 × 6371000     		du = 256.739877155866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13701420)-sin(1.13697390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.420342203570762)×R²
    abs(1.62295167-1.62285580)×3.65671772238896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65671772238896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65671772238896e-05×40589641000000     		ar = 65915.4299881153m²