Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49694 / 83098
↖ ↑ ↗
← S 43.377105°
W 43.511352°		 ← 221.95 m → S 43.377105°
W 43.508606°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 43.379101°
W 43.511352°		 ← 221.94 m →
49 265 m²		 S 43.379101°
W 43.508606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379138946533203 y=0.633991241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379138946533203 × 217)
    floor (0.379138946533203 × 131072)
    floor (49694.5)     		tx = 49694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633991241455078 × 217)
    floor (0.633991241455078 × 131072)
    floor (83098.5)     		ty = 83098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49694 / 83098 ti = "17/49694/83098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49694/83098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49694 ÷ 217
    49694 ÷ 131072     		x = 0.379135131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83098 ÷ 217
    83098 ÷ 131072     		y = 0.633987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.241729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75941636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633987426757812 × 2 - 1) × π
    -0.267974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841867831127426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75941636} λ = -0.75941636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841867831127426))-π/2
    2×atan(0.43090491368108)-π/2
    2×0.406861512141186-π/2
    0.813723024282373-1.57079632675     		φ = -0.75707330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75941636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.511352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75707330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.377105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49694 KachelY 83098 -0.75941636 -0.75707330 -43.511352 -43.377105
    Oben rechts KachelX + 1 49695 KachelY 83098 -0.75936843 -0.75707330 -43.508606 -43.377105
    Unten links KachelX 49694 KachelY + 1 83099 -0.75941636 -0.75710814 -43.511352 -43.379101
    Unten rechts KachelX + 1 49695 KachelY + 1 83099 -0.75936843 -0.75710814 -43.508606 -43.379101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75707330--0.75710814) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dl = 221.965640000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75707330--0.75710814) × R
    3.48400000000915e-05 × 6371000     		dr = 221.965640000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75941636--0.75936843) × cos(-0.75707330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726849169940273 × 6371000     		do = 221.952138036913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75941636--0.75936843) × cos(-0.75710814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72682524148748 × 6371000     		du = 221.944831195993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75707330)-sin(-0.75710814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726849169940273-0.72682524148748)×R²
    abs(-0.75936843--0.75941636)×2.39284527930872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39284527930872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39284527930872e-05×40589641000000     		ar = 49264.9374399273m²