Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49692 / 83091
↖ ↑ ↗
← S 43.363129°
W 43.516846°		 ← 222.05 m → S 43.363129°
W 43.514099°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
S 43.365125°
W 43.516846°		 ← 222.04 m →
49 301 m²		 S 43.365125°
W 43.514099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379123687744141 y=0.633937835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379123687744141 × 217)
    floor (0.379123687744141 × 131072)
    floor (49692.5)     		tx = 49692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633937835693359 × 217)
    floor (0.633937835693359 × 131072)
    floor (83091.5)     		ty = 83091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49692 / 83091 ti = "17/49692/83091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49692/83091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49692 ÷ 217
    49692 ÷ 131072     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83091 ÷ 217
    83091 ÷ 131072     		y = 0.633934020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633934020996094 × 2 - 1) × π
    -0.267868041992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.841532272830086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841532272830086))-π/2
    2×atan(0.431049531662756)-π/2
    2×0.406983476328054-π/2
    0.813966952656108-1.57079632675     		φ = -0.75682937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75682937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.363129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49692 KachelY 83091 -0.75951224 -0.75682937 -43.516846 -43.363129
    Oben rechts KachelX + 1 49693 KachelY 83091 -0.75946430 -0.75682937 -43.514099 -43.363129
    Unten links KachelX 49692 KachelY + 1 83092 -0.75951224 -0.75686422 -43.516846 -43.365125
    Unten rechts KachelX + 1 49693 KachelY + 1 83092 -0.75946430 -0.75686422 -43.514099 -43.365125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75682937--0.75686422) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75682937--0.75686422) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(-0.75682937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727016678735681 × 6371000     		do = 222.049607095042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(-0.75686422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72699274959419 × 6371000     		du = 222.042298519294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75682937)-sin(-0.75686422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727016678735681-0.72699274959419)×R²
    abs(-0.75946430--0.75951224)×2.39291414910747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39291414910747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39291414910747e-05×40589641000000     		ar = 49300.7185769306m²