Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49692 / 82929
↖ ↑ ↗
← S 43.038784°
W 43.516846°		 ← 223.23 m → S 43.038784°
W 43.514099°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 43.040791°
W 43.516846°		 ← 223.23 m →
49 820 m²		 S 43.040791°
W 43.514099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379123687744141 y=0.632701873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379123687744141 × 217)
    floor (0.379123687744141 × 131072)
    floor (49692.5)     		tx = 49692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632701873779297 × 217)
    floor (0.632701873779297 × 131072)
    floor (82929.5)     		ty = 82929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49692 / 82929 ti = "17/49692/82929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49692/82929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49692 ÷ 217
    49692 ÷ 131072     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82929 ÷ 217
    82929 ÷ 131072     		y = 0.632698059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632698059082031 × 2 - 1) × π
    -0.265396118164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.833766495091637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833766495091637))-π/2
    2×atan(0.434409997948677)-π/2
    2×0.409813925694915-π/2
    0.81962785138983-1.57079632675     		φ = -0.75116848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75116848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.038784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49692 KachelY 82929 -0.75951224 -0.75116848 -43.516846 -43.038784
    Oben rechts KachelX + 1 49693 KachelY 82929 -0.75946430 -0.75116848 -43.514099 -43.038784
    Unten links KachelX 49692 KachelY + 1 82930 -0.75951224 -0.75120351 -43.516846 -43.040791
    Unten rechts KachelX + 1 49693 KachelY + 1 82930 -0.75946430 -0.75120351 -43.514099 -43.040791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75116848--0.75120351) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dl = 223.176129999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75116848--0.75120351) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dr = 223.176129999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(-0.75116848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730891888292755 × 6371000     		do = 223.233195841666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(-0.75120351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		du = 223.225893665876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75116848)-sin(-0.75120351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730891888292755-0.730867980105482)×R²
    abs(-0.75946430--0.75951224)×2.39081872723812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39081872723812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39081872723812e-05×40589641000000     		ar = 49819.5059048248m²