Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49692 / 53793
↖ ↑ ↗
← N 30.673353°
W 43.516846°		 ← 262.69 m → N 30.673353°
W 43.514099°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
N 30.670991°
W 43.516846°		 ← 262.70 m →
69 004 m²		 N 30.670991°
W 43.514099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379123687744141 y=0.410411834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379123687744141 × 217)
    floor (0.379123687744141 × 131072)
    floor (49692.5)     		tx = 49692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410411834716797 × 217)
    floor (0.410411834716797 × 131072)
    floor (53793.5)     		ty = 53793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49692 / 53793 ti = "17/49692/53793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49692/53793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49692 ÷ 217
    49692 ÷ 131072     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53793 ÷ 217
    53793 ÷ 131072     		y = 0.410408020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410408020019531 × 2 - 1) × π
    0.179183959960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.562923012238319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562923012238319))-π/2
    2×atan(1.75579722360543)-π/2
    2×1.05307366573145-π/2
    2.1061473314629-1.57079632675     		φ = 0.53535100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53535100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.673353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49692 KachelY 53793 -0.75951224 0.53535100 -43.516846 30.673353
    Oben rechts KachelX + 1 49693 KachelY 53793 -0.75946430 0.53535100 -43.514099 30.673353
    Unten links KachelX 49692 KachelY + 1 53794 -0.75951224 0.53530977 -43.516846 30.670991
    Unten rechts KachelX + 1 49693 KachelY + 1 53794 -0.75946430 0.53530977 -43.514099 30.670991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53535100-0.53530977) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53535100-0.53530977) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(0.53535100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.860089622080614 × 6371000     		do = 262.693509290119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75946430) × cos(0.53530977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.860110654543905 × 6371000     		du = 262.699933145784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53535100)-sin(0.53530977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860089622080614-0.860110654543905)×R²
    abs(-0.75946430--0.75951224)×2.10324632912151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10324632912151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10324632912151e-05×40589641000000     		ar = 69004.210642315m²