Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49691 / 83102
↖ ↑ ↗
← S 43.385090°
W 43.519592°		 ← 221.92 m → S 43.385090°
W 43.516846°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 43.387086°
W 43.519592°		 ← 221.92 m →
49 258 m²		 S 43.387086°
W 43.516846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379116058349609 y=0.634021759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379116058349609 × 217)
    floor (0.379116058349609 × 131072)
    floor (49691.5)     		tx = 49691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634021759033203 × 217)
    floor (0.634021759033203 × 131072)
    floor (83102.5)     		ty = 83102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49691 / 83102 ti = "17/49691/83102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49691/83102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49691 ÷ 217
    49691 ÷ 131072     		x = 0.379112243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83102 ÷ 217
    83102 ÷ 131072     		y = 0.634017944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379112243652344 × 2 - 1) × π
    -0.241775512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75956017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634017944335938 × 2 - 1) × π
    -0.268035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842059578725906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75956017} λ = -0.75956017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842059578725906))-π/2
    2×atan(0.430822296619773)-π/2
    2×0.406791830938499-π/2
    0.813583661876999-1.57079632675     		φ = -0.75721266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75956017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.519592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75721266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.385090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49691 KachelY 83102 -0.75956017 -0.75721266 -43.519592 -43.385090
    Oben rechts KachelX + 1 49692 KachelY 83102 -0.75951224 -0.75721266 -43.516846 -43.385090
    Unten links KachelX 49691 KachelY + 1 83103 -0.75956017 -0.75724750 -43.519592 -43.387086
    Unten rechts KachelX + 1 49692 KachelY + 1 83103 -0.75951224 -0.75724750 -43.516846 -43.387086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75721266--0.75724750) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dl = 221.965639999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75721266--0.75724750) × R
    3.48399999999804e-05 × 6371000     		dr = 221.965639999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75956017--0.75951224) × cos(-0.75721266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726753450835783 × 6371000     		do = 221.922909056856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75956017--0.75951224) × cos(-0.75724750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726729518854208 × 6371000     		du = 221.91560113838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75721266)-sin(-0.75724750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726753450835783-0.726729518854208)×R²
    abs(-0.75951224--0.75956017)×2.39319815750205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39319815750205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39319815750205e-05×40589641000000     		ar = 49258.4494909749m²