Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49691 / 82903
↖ ↑ ↗
← S 42.986567°
W 43.519592°		 ← 223.38 m → S 42.986567°
W 43.516846°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 42.988576°
W 43.519592°		 ← 223.37 m →
49 908 m²		 S 42.988576°
W 43.516846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379116058349609 y=0.632503509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379116058349609 × 217)
    floor (0.379116058349609 × 131072)
    floor (49691.5)     		tx = 49691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632503509521484 × 217)
    floor (0.632503509521484 × 131072)
    floor (82903.5)     		ty = 82903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49691 / 82903 ti = "17/49691/82903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49691/82903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49691 ÷ 217
    49691 ÷ 131072     		x = 0.379112243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82903 ÷ 217
    82903 ÷ 131072     		y = 0.632499694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379112243652344 × 2 - 1) × π
    -0.241775512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75956017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632499694824219 × 2 - 1) × π
    -0.264999389648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.832520135701515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75956017} λ = -0.75956017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832520135701515))-π/2
    2×atan(0.434951766477797)-π/2
    2×0.410269596394438-π/2
    0.820539192788876-1.57079632675     		φ = -0.75025713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75956017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.519592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75025713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.986567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49691 KachelY 82903 -0.75956017 -0.75025713 -43.519592 -42.986567
    Oben rechts KachelX + 1 49692 KachelY 82903 -0.75951224 -0.75025713 -43.516846 -42.986567
    Unten links KachelX 49691 KachelY + 1 82904 -0.75956017 -0.75029220 -43.519592 -42.988576
    Unten rechts KachelX + 1 49692 KachelY + 1 82904 -0.75951224 -0.75029220 -43.516846 -42.988576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75025713--0.75029220) × R
    3.50699999999149e-05 × 6371000     		dl = 223.430969999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75025713--0.75029220) × R
    3.50699999999149e-05 × 6371000     		dr = 223.430969999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75956017--0.75951224) × cos(-0.75025713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731513574913277 × 6371000     		do = 223.376470208212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75956017--0.75951224) × cos(-0.75029220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731489662794871 × 6371000     		du = 223.369168355194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75025713)-sin(-0.75029220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731513574913277-0.731489662794871)×R²
    abs(-0.75951224--0.75956017)×2.39121184051339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39121184051339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39121184051339e-05×40589641000000     		ar = 49908.4056887174m²