Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4969 / 4075
↖ ↑ ↗
← N 66.696478°
W 70.817871°		 ← 966.57 m → N 66.696478°
W 70.795898°		 →
↑
966.74 m
↓
↑
966.74 m
↓
N 66.687784°
W 70.817871°		 ← 966.91 m →
934 578 m²		 N 66.687784°
W 70.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303314208984375 y=0.248748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303314208984375 × 214)
    floor (0.303314208984375 × 16384)
    floor (4969.5)     		tx = 4969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248748779296875 × 214)
    floor (0.248748779296875 × 16384)
    floor (4075.5)     		ty = 4075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4969 / 4075 ti = "14/4969/4075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4969/4075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4969 ÷ 214
    4969 ÷ 16384     		x = 0.30328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4075 ÷ 214
    4075 ÷ 16384     		y = 0.24871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.3934326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23600502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24871826171875 × 2 - 1) × π
    0.5025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57884972588617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23600502} λ = -1.23600502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57884972588617))-π/2
    2×atan(4.84937449188296)-π/2
    2×1.36743473209238-π/2
    2.73486946418477-1.57079632675     		φ = 1.16407314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23600502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.817871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16407314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.696478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4969 KachelY 4075 -1.23600502 1.16407314 -70.817871 66.696478
    Oben rechts KachelX + 1 4970 KachelY 4075 -1.23562152 1.16407314 -70.795898 66.696478
    Unten links KachelX 4969 KachelY + 1 4076 -1.23600502 1.16392140 -70.817871 66.687784
    Unten rechts KachelX + 1 4970 KachelY + 1 4076 -1.23562152 1.16392140 -70.795898 66.687784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16407314-1.16392140) × R
    0.000151739999999956 × 6371000     		dl = 966.735539999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16407314-1.16392140) × R
    0.000151739999999956 × 6371000     		dr = 966.735539999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23600502--1.23562152) × cos(1.16407314) × R
    0.00038349999999987 × 0.39560195970679 × 6371000     		do = 966.565762709139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23600502--1.23562152) × cos(1.16392140) × R
    0.00038349999999987 × 0.395741316516025 × 6371000     		du = 966.906250204972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16407314)-sin(1.16392140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39560195970679-0.395741316516025)×R²
    abs(-1.23562152--1.23600502)×0.000139356809235047×R²
    0.00038349999999987×0.000139356809235047×6371000²
    0.00038349999999987×0.000139356809235047×40589641000000     		ar = 934578.057033732m²