Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4969 / 1193
↖ ↑ ↗
← N 77.683500°
E 38.364258°		 ← 1 042.35 m → N 77.683500°
E 38.408203°		 →
↑
1 042.74 m
↓
↑
1 042.74 m
↓
N 77.674122°
E 38.364258°		 ← 1 043.13 m →
1 087 305 m²		 N 77.674122°
E 38.408203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60662841796875 y=0.14569091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60662841796875 × 213)
    floor (0.60662841796875 × 8192)
    floor (4969.5)     		tx = 4969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14569091796875 × 213)
    floor (0.14569091796875 × 8192)
    floor (1193.5)     		ty = 1193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4969 / 1193 ti = "13/4969/1193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4969/1193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4969 ÷ 213
    4969 ÷ 8192     		x = 0.6065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1193 ÷ 213
    1193 ÷ 8192     		y = 0.1456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6065673828125 × 2 - 1) × π
    0.213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66958261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1456298828125 × 2 - 1) × π
    0.708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22657311355237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66958261} λ = 0.66958261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22657311355237))-π/2
    2×atan(9.26805103885192)-π/2
    2×1.46331458634904-π/2
    2.92662917269808-1.57079632675     		φ = 1.35583285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66958261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.364258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35583285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.683500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4969 KachelY 1193 0.66958261 1.35583285 38.364258 77.683500
    Oben rechts KachelX + 1 4970 KachelY 1193 0.67034960 1.35583285 38.408203 77.683500
    Unten links KachelX 4969 KachelY + 1 1194 0.66958261 1.35566918 38.364258 77.674122
    Unten rechts KachelX + 1 4970 KachelY + 1 1194 0.67034960 1.35566918 38.408203 77.674122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35583285-1.35566918) × R
    0.00016367000000006 × 6371000     		dl = 1042.74157000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35583285-1.35566918) × R
    0.00016367000000006 × 6371000     		dr = 1042.74157000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66958261-0.67034960) × cos(1.35583285) × R
    0.000766990000000023 × 0.213311745849267 × 6371000     		do = 1042.34641477066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66958261-0.67034960) × cos(1.35566918) × R
    0.000766990000000023 × 0.213471645993141 × 6371000     		du = 1043.12776575077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35583285)-sin(1.35566918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213311745849267-0.213471645993141)×R²
    abs(0.67034960-0.66958261)×0.000159900143874014×R²
    0.000766990000000023×0.000159900143874014×6371000²
    0.000766990000000023×0.000159900143874014×40589641000000     		ar = 1087305.31302236m²