Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49689 / 82927
↖ ↑ ↗
← S 43.034768°
W 43.525086°		 ← 223.25 m → S 43.034768°
W 43.522339°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
S 43.036776°
W 43.525086°		 ← 223.24 m →
49 837 m²		 S 43.036776°
W 43.522339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379100799560547 y=0.632686614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379100799560547 × 217)
    floor (0.379100799560547 × 131072)
    floor (49689.5)     		tx = 49689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632686614990234 × 217)
    floor (0.632686614990234 × 131072)
    floor (82927.5)     		ty = 82927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49689 / 82927 ti = "17/49689/82927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49689/82927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49689 ÷ 217
    49689 ÷ 131072     		x = 0.379096984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82927 ÷ 217
    82927 ÷ 131072     		y = 0.632682800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379096984863281 × 2 - 1) × π
    -0.241806030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75965605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632682800292969 × 2 - 1) × π
    -0.265365600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.833670621292397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75965605} λ = -0.75965605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833670621292397))-π/2
    2×atan(0.434451648482174)-π/2
    2×0.409848963532426-π/2
    0.819697927064852-1.57079632675     		φ = -0.75109840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75965605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.525086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75109840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.034768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49689 KachelY 82927 -0.75965605 -0.75109840 -43.525086 -43.034768
    Oben rechts KachelX + 1 49690 KachelY 82927 -0.75960811 -0.75109840 -43.522339 -43.034768
    Unten links KachelX 49689 KachelY + 1 82928 -0.75965605 -0.75113344 -43.525086 -43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 49690 KachelY + 1 82928 -0.75960811 -0.75113344 -43.522339 -43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75109840--0.75113344) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75109840--0.75113344) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75965605--0.75960811) × cos(-0.75109840) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730939715625477 × 6371000     		do = 223.247803540672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75965605--0.75960811) × cos(-0.75113344) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 223.240499828475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75109840)-sin(-0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730939715625477-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.75960811--0.75965605)×2.39132176512724e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39132176512724e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39132176512724e-05×40589641000000     		ar = 49836.9887082708m²